# Utilizing Monte Carlo Method for Ranking Extreme Efficient Units in Data Envelopment Analysis

Document Type : research paper

Authors

1 Department of Mathematics, Kharazmi University, Tehran, Iran

2 Department of Mathematics, Kharazmi University, Tehran, Iran Corresponding author

Abstract

Data envelopment analysis (DEA) is a mathematical programming method for calculating
efficiency of decision making units (DMU). In calculating the efficiency score of units
through DEA we may come up with some efficient units. But the question is among these
efficient units which of them is better. As we know, it is possible to rank inefficient units
through efficiency score; however, for ranking efficient units it is not helpful and other
methods should be developed in these regards. To obviate this problem there have been so
many attempts in the literature which have their pros and cons. Cross-efficiency method was
first introduced by Sexon et al. for ranking efficient units. The major problem of this method
is alternative optimal solutions in each model which must be solved for each DMU. Another
problem of this method is dependency of obtained solutions on the solution obtained by other
units. Another method which has widely been used is super efficiency, presented by
Anderson and Petersen. There are several flaws in their suggested method. Infeasibility,
instability, dependency of the model on the input and output orientation and non-zero slack
variables are the weaknesses of this method which may occur in specific problems. This
article is an attempt to present a method which does not have the aforementioned problems
and can be utilized to calculate the rank of extreme efficient units through using the Hit or
Miss Monte Carlo method. At the end of the article some examples are made in order to show
the efficiency of the presented method.

Keywords

Article Title [فارسی]

### استفاده از روش مونت کارلو در رابطه با ارزیابی DMU های کارای راسی

Authors [فارسی]

• غلامرضا جهانشاهلو 1
• مازیار زاهدی سرشت 2
1 گروه ریاضیات، دانشگاه خوارزمی، تهران، ایران
2 گروه ریاضیات، دانشگاه خوارزمی، تهران، ایران
Abstract [فارسی]

تحلیل پوششی داده­ها یک روش برنامه­ریزی ریاضی برای محاسبه کارایی واحدهای تصمیم­گیری می­باشد. زمانی که تحلیل پوششی داده­ها نمره کارایی واحدها را بدست می­آورد ممکن است تعدادی از آنها کارا شوند. حال این سوال پیش می­آید از بین این واحدهای کارا کدام بهترین می­باشد. واحدهای ناکارا را می­توان توسط نمره کاراییشان رتبه­بندی کرد ولی برای واحدهای کارا باید روشی را ارایه کرد که آنها را رتبه­بندی کند.
روش­هایی زیادی برای رتبه­بندی واحدهای کارا ارایه گردیده است که هر کدام از آنها دارای معایب و مزایایی می­باشند. Sexton روش Cross-efficiency را برای رتبه­بندی واحدها کارا اراییه کرد که یکی از مشکلات بزرگ این روش جواب بهینه چندگانه در هرکدام از مدهایی می­باشد که باید برای هر DMU حل شوند. ایراد دیگر این روش، وابستگی جواب مدل به جواب­های بدست آمده توسط واحدهای دیگر می­باشد. یکی از روش­های پر کاربرد دیگر، Super-efficiency می­باشد که توسط Anderson and Petersen ارایه گردید. این روش هم دارای معایب زیادی می­باشد. نشدنی بودن، ناپایداری، وابستگی مدل به ماهیت ورودی یا خروجی و متغیرهای کمکی s مشکلات این روش می­باشند که در مسایل خاص ممکن است اتفاق بافتد. در این مقاله ما روشی را ارایه کرده­ایم که هیچ­کدام از این مشکلات را ندارد و می­تواند رتبه واحدهای کارای راسی را با محاسباتی ساده و با استفاده از روش The Hit or Miss Monte Carlo Method بدست آورد. در انتهای این مقاله برای نشان دادن کارایی روش خودمان مثالی کاربردی را ذکر کرده­ایم.

Keywords [فارسی]

• تحلیل پوششی داده‌ها
• بهره‌وری
• رتبه‌بندی
• شبیه‌سازی مونت کارلو
• روش Cross-efficiency
• روش Super-efficiency

#### References

[1] Charnes A., Cooper W.W. , Rhodes E. , Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, 2(1978), 429–441
[2] Banker R.D., Charnes A., Cooper W.W., Some models for estimating technical and scale efficiencies in data envelopment analysis, Management Science ,30(1984), 1078–1092.
[3] Abello J.M., Pardalos P.M., Resende M.G.C. , Handbook of massive data sets. Kluwer, Dordrecht(2002).
[4] Sexton T.R., Silkman R.H , Hogan A.J, Data Envelopment Analysis: Critique and Extensions. in Measuring Efficiency: An Assessment of Data Envelopment Analysis. San Francisco: JosseyBass,(1986),73-105.
[5] Sungmook Lim,Minimax and maximin formulations of cross-efficiency in DEA, Computers & Industrial Engineering 62(2012), 726-731.
[6] Andersen P., Petersen N.C., A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis, Management Science,39(10)(1993), 1261-1294.
[7] Mehrabian S. , Alirezaee M.R., Jahanshahloo G.R.,Acomplete efficiency ranking of decisionmaking units in data envelopment analysis. Comput. Optim. Appl. ,14(1999), 261–266.
[8] Saati M.S., Zarafat Angiz M., Jahanshahloo G.R.,A model for ranking decision making units in data envelopment analysis. Ricerca Operativa 31(97) (2001), 47–59.
[9] Jahanshahloo G.R., Hosseinzadeh Lotfi F., Zhiani Rezai H., F. Rezai Balf, UsingMont Carlo method for ranking efficient DMUs. Appl. Math. Comput. 162(1) (2005), 371–379.
[10] Jahanshahloo,G.R., Afzalinejad,M, A ranking method based on a full-inefficient frontier, Applied Mathematical Modelling,30(2005), 248–260.
[11] Jahanshahloo G.R., Hosseinzadeh Lotfi F.,, Shoja. N., Tohidi G., Razavian S.,Ranking using L1 norm in data envelopment analysis. Appl. Math. Comput. 153(1) (2004), 215–224 .
[12] Amirteimoori. A., Jahanshahloo G.R., Kordrostami S.,Ranking of decision making units in data envelopment analysis. A distance-based approach. Appl. Math. Comput. 171(2005), 122–135 .
[13] Jahanshahloo G.R, Sanei M., Hosseinzadeh Lotfi F., Shoja N.,Using the gradient line for ranking DMUs in DEA. Appl.Math. Comput. 151(1) (2004), 209–219 .