On socle and Property (A) of the f-ring $Frm(mathcal{P}(mathbb R), L)$

Document Type : research paper


Faculty of Mathematics and Computer Sciences, Hakim Sabzevari University, Sabzevar, Iran


A topoframe, denoted by $L_{ tau}$, is a pair $(L, tau)$ consisting of a frame $L$ and a
subframe $ tau $ all of whose elements are complementary elements in
$L$. $f$-ring $mathcal{R}(L_{ tau})$
is equal to the set
$${fin Frm(mathcal{P}(mathbb R), L): f(mathfrak{O}(mathbb R))subseteq tau} .$$
In this paper, for every complemented element
$ain L$ with $a, a'in tau$,
we introduce an
idempotent element $f_{a}$ belong to $mathcal{R}(L_{ tau})$ and we show that an ideal $I$ of
$mathcal{R}(L_{ tau})$ is minimal
if and only if
there exists an atom $a$ of $L$
such that $I$ is generated by $ f_a$
if and only if
there exists an atom $a$ of $L$
such that $ I={fin mathcal{R}(L_{ tau}): coz(f)leq a} $.
Also, we prove that
the socle of $f$-ring $mathcal{R}(L_{ tau})$
consists of those $f$ for which $coz (f)$ is a join of finitely many atoms and finally, we show that
the $f$-ring $mathcal{R}(L_{ tau})$
has Property (A) and
if $L$ has a finite number of atoms then the residue class ring
$ frac{mathcal{R}(L_{ tau})}{Soc (mathcal{R}(L_{ tau}))}$
has Property (A).


Article Title [فارسی]

ساکل و خاصیّت (A)از f-حلقه‌ی 〖R(L〗_τ)

Authors [فارسی]

  • علی اکبر استاجی
  • علی اصغر استاجی
  • مریم طاها
استاد، گروه ریاضی محض، دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه حکیم سبزواری، سبزوار، ایران.
Abstract [فارسی]

زوج  که به اختصار با  نشان داده می‌شود را توپوقاب نامیم، در صورتی که  زیرقاب، قاب  باشد و هر عنصر از  در  دارای متمم باشد. -حلقه‌ی  برابر با
است. در این مقاله برای هر عنصر متمم‌دار ، اگر ، عنصر خودتوان  متعلق  را معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم ایده‌آل  از - حلقه‌ی  ایده‌آل می‌نیمال است اگر و تنها اگر اتم  در  به قسمی وجود داشته باشد که  توسط عنصر خودتوان  تولید شود اگر و تنها اگر اتم  در  به قسمی وجود داشته باشد که . هم‌چنین نشان می‌دهیم -حلقه‌ی  برابر تمام هایی است که  برابراتصال تعداد متناهی اتم می‌باشد و در انتها نشان می‌دهیم - حلقه‌ی  دارای خاصیّت است و اگر در- حلقه‌ی  تعداد اتم‌های قاب  متناهی باشند، آن‌گاه حلقه‌ی خارج قسمتی  دارای خاصیّت  می‌باشد.

Keywords [فارسی]

  • ایده‌آل می‌نیمال
  • $f$-حلقه
  • ساکل حلقه
  • حلقه با خاصیّت $(A)$
[1] F. Azarpanah, O.A.S. Karamzadeh and A. Rezai Aliabad, On ideals consisting entirely of zero divisors, Comput. Algebra, 28: 1061-1073 (2000).
[2] T. Dube, A note on the socle of certain type of -rings, Bull.  Iranian Math. Soc., 38 (2): 517-528 (2012).
[3] T. Dube, Contracting the socle in rings of continuous function, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 123: 37-53 (2010).
[4] M.M. Ebrahimi and M. Mohmoudi, Frame, Technical Report, Shahid Beheshti University (1996).
[5] A.As. Estaji, E. Hashemi and A.A.  Estaji, Socle and property (A) on real-valude function ring , Categ. Gen. Algebr. Struct. Appl., 8(1): 61-80 (2018).
[6] A.A. Estaji, A. Karimi Feizabadi and M. Zarghani, The ring of real-continuous function on a topoframe, Categ. Gen. Algebr. Struct. Appl., 4(1): 75-94 (2016).
[7] E. Hashemi, A.As. Estaji and M. Ziembowski, Answer on qustions related to rings with property (A), Proc. Edin. Math. Soc., 60: 651-664 (2017). 
[8] H. Henriksen and M. Jerison, The space of minimal prime ideals of a commutative ring, Trans. Amer. Math. Soc., 115: 110-130 (1965).
[9] J.A. Huckaba, commutative rings with Zero Divisors, Marcel Dekker Inc., New York (1987).
[10] J.A. Huckaba and J.M. Keller, Annihilation of ideals in commutative rings, Pacific J. Math., 83: 375-379 (1979).
[11] J. Kaplansky, commutative rings, rev. ed. Chicago: Univ. of Chicago Press (1974).
[12] A. Karimi Feizabadi, A.A. Estaji and M. Zarghani, The ring of real-valued functtions on a frame, Categ. Gen. Algebr. Struct., Appl., 5(1): 85-102 (2016).
[13] O.A.S. Karamzadeh and M. Rostami, On the intrinsic topology and some related ideals of C(X), Proc. Amer. Math. Soc., 93: 179-184 (1985).
[14] J. Lambeck, Lectures on Rings and Modules, Blaisdell Publishing Company, Waltham, Toronto, London (1966).
[15] G. Mason, -ideals and prime ideals, J. Algebra, 26: 280-297 (1973).
[16] J. Picado and A. Pulter, Frame and locales: Topology whitout point, Frontiers in Mathematics, Springer Basel (2012).
[17] Y. Quentel, Sur la compacite du spectre minimal d un anneau, Bull. Soc. Math. France, 99: 265-272 (1971).
[18] M. Zarghani, The ring of real-continuous function on a topoframe, PhD thesis, Hakim Sabsevari University (Feb. 2017).