The Sum Graph of Non-essential Submodules

Document Type : research paper


Department of Mathematics, Faculty of Basic Science, Payame Noor University, Tehran, Iran


Throughout this paper, R will denote a commutative ring with identity and M is a unitary R- module and Z will denote the ring of integers. We introduce the graph Ω(M) of module M with the set of vertices contain all nontrivial non-essential submodules of M. We investigate the interplay between graph-theoretic properties of Ω(M) and algebraic properties of M. Also, we assign the values of natural numbers n, where Ω(M) is a connected graph, complete graph and has a cyclic. We prove that for a square-free natural number n, Ω(Z_n) is a complete graph. In particular, if n be the product of s distinct prime numbers, then Ω(Z_n) is the complete graph K_s. In addition, we introduce the extended graph Ω_T (M) of Ω(M) for some proper submodule T of M and we investigate about it. Dullay, we define the graph Λ(M) of module M with the set of vertices contain all nontrivial non-small submodules of M. Two distinct vertices N and K are adjacent in Λ(M) if and only if N∩K is a proper non-small submodule of M or N∩K=∘. We prove that, if M be a strongly comultiplication module, then there exists an isomorphism graph Ω(R)≅Λ(M) .


Article Title [فارسی]

گراف جمع زیرمدول‌های غیراساسی

Author [فارسی]

  • سعید رجایی
استادیار گروه ریاضی (جبر)، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
Abstract [فارسی]


در سرتاسر این مقاله، R یک حلقۀ جابه‌جایی با عضو همانی و M یک R-مدول یکانی و Z حلقۀ اعداد صحیح می‌باشد. در این مقاله، گراف Ω(M) از مدول M با مجموعه‌ رئوس شامل همۀ زیرمدول‌های نابدیهی غیراساسی از مدول M را معرفی می‌کنیم. ما اثر متقابل بین خواص نظریۀ گراف از Ω(M) و خواص جبری از M را بررسی می‌کنیم. مقادیری از n را که به ازای آن‌ها Ω(Z_n) گرافی همبند، کامل و دارای یک دور است را تعیین می‌کنیم. در حقیقت، برای یک عدد طبیعی مربع-آزاد n، Ω(Z_n) گرافی کامل است. در حالت خاص، اگر n حاصل‌ضرب sعدد اول متمایز باشد، گراف Ω(Z_n) گراف کامل K_s است. بعلاوه، تعمیم Ω(M) به گراف Ω_T (M) را برای زیرمدول سرۀ T از M معرفی می‎کنیم و در مورد آن تحقیق خواهیم کرد. به طور دوگان، ما گراف Λ(M) از مدول M را معرفی می‌کنیم که گراف با مجموعۀ رئوس همۀ زیرمدول‌های نابدیهی‌ غیرناچیز از مدول M است. دو راس متمایز N و K از گراف Λ(M) مجاورند اگر و فقط اگر N∩K زیرمدول غیرناچیز M باشد یا این که N∩K=∘. ثابت می‌کنیم که اگر M یک مدول هم‌ضرب قوی باشد، آن‌گاه یک یکریختی گرافی بینΩ(R) و Λ(M) وجود دارد.

Keywords [فارسی]

  • گراف کامل
  • زیرمدول اساسی
  • زیرمدول کوچک
  • مدول هم‌ضرب
[1] Y‎. ‎AL.Shaniafi‎, ‎P.F‎. ‎Smith‎, Comultiplication modules over commutative rings‎, ‎Journal of‎ commutative algebra‎, ‎3 ‎‎(‎‎‎1) (2011)‎, ‎1-29‎.
‎[2] T‎. ‎Albu‎, ‎G.F‎. ‎Birkenmeier‎, ‎A‎. ‎Erdogan‎, ‎A‎. ‎Tercan‎, Ring and Module Theorey‎. ‎(2009)‎.
‎[3] D.D‎. ‎Anderson‎, Some remarks on‎ ‎multiplication ideals II. ‎Comm‎. ‎in Algebra 28 (2000)‎, ‎2577-2583‎.
‎[4] F.W‎. ‎Anderson‎, ‎K.R‎. ‎Fuller‎, Rings and‎ ‎Categories of Modules. ‎Graduate Texts in Mathematics‎, ‎Vol. 13‎, ‎2nd‎ ‎ed.‎, ‎Springer-Verlag‎, ‎(1992)‎.
[5]‎ H‎. ‎Ansari-Toroghy‎, ‎F‎. ‎Farshadifar‎, The dual notion of multiplication modules,‎ Taiwanese J. Math. 11 (4) (2007), 1189-1201.
‎[6] H. Ansari-Toroghy, F. Farshadifar, On comultiplication modules. Korean Ann Math, 2008, 25(2): 57–66
‎[7] H‎. ‎Ansari-Toroghy‎, ‎F‎. ‎Farshadifar‎, F. Mahboobi-Abkenar, The small intersection graph relative to multiplication modules‎. Journal ‎of ‎Algebra ‎and ‎Related ‎Topics‎ 4 (21) (2016)‎, ‎21-32‎.‎
[8] H‎. ‎Ansari-Toroghy‎, ‎‎‎‎F. Mahboobi-Abkenar, The large sum graph relative to comultiplication modules, ‎arxiv: ‎1609.00955 v1, ‎2016.
‎[9] A‎. ‎Barnard‎, Multiplication modules,
‎J.Algebra 71 (1981)‎, ‎74-178‎.
‎[10]‎ J‎. ‎Beachy‎, Some aspects of noncommutative localization‎, ‎in Non‎-‎commutative Ring Theory‎, ‎Kent State University‎, ‎Lecture Notes in‎ ‎Mathematics‎, ‎Vol‎. ‎545‎, ‎Springer-Verlag‎, ‎Berlin-New York‎, ‎1975‎.
‎[11] M‎. ‎Baser, N‎. ‎Agayev‎, ‎On reduced and‎ semicommutative modules‎, ‎Turkish J‎. ‎Math‎. ‎30 (2006)‎, ‎285-291‎.
[12] Z.A. El-Bast, P.F. Smith, Multiplication modules, Comm. Algebra 16 (1988) 755-779.
[13]‎ N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith, R. Wisbauer, Extending modules, Pitman Research Note in Math, Series 313 ‎Longman ‎Harlow, ‎1994.‎
‎[14] F‎. ‎Kasch‎, ‎ Modules and Rings, Academic Press‎, ‎London‎, ‎New York‎, ‎1982‎.‎
‎[15] Golan JS: Quasi-Semiperfect modules. Quart J.Math., Oxford 1971, 173-182.‎
[16] KR. Goodearl, Ring theory, Non-singular rings and modules. New York and Basel: Marcel Dekker INC, 1976.‎
[17] A. Nikseresht, H. Sharif, On comultiplication and R-multiplication modules, Journal of Algebraic systems, 2 (1) (2014), 1-19.
[18] S. Rajaee, Quasi-copure submodules, Canad. Math. Bull. 59 (2016), 197-203.
[19] S. Safaeeyan, N.Saboori Shirazi, Essential Submodules with respect to an Arbitrary Submodule, Journal of Mathematical Extension, Vol. 7, No. 3,
(2013), 15-27.
[20] S. Safaeeyan, Strongly duo and comultiplication modules, Journal of Algebraic Systems, Vol. 3, No. 1, (2016), 53-64.
[21] P. K. Sharma and S. M. Bhatwadekar, A note on graphical representation of rings, J. Algebra 176 (1995), 124-127.
[22]‎ P.F.Smith, M.R.Vedadi, Modules with chain conditions on Non-essential submodules, ‎Communication in Algebra‎, ‎‎‎32‎ ‎(‎‎5‎) ‎(2004)‎, ‎1881-1894‎.
‎[23] Y‎. ‎Wang‎, ‎Y‎. ‎Liu‎, ‎A Note on‎ ‎Comultiplication Modules‎, ‎Algebra Colloquium 21 (1) (2014)‎ 147-150‎.