On the Exponent of Triple Tensor Product of p-Groups

Document Type: research paper

Authors

Department of Mathematics, Islamic Azad University, Mashhad Branch, Mashhad, Iran

Abstract

The non-abelian tensor product of groups which has its origins in algebraic K-theory as well as in
homotopy theory, was introduced by Brown and Loday in 1987. Group theoretical aspects of non-abelian tensor products have been studied extensively. In particular, some studies focused on the relationship between the exponent of a group and exponent of its tensor square. On the other hand, computation of c-fold tensor products is generally a difficult problem. Several authors have given upper bounds for the order of G, when G is a finite p-group. In this paper we determine a bound for the exponent triple tensor product which sharpens a bound of G. Ellis.
Let G be a nilpotent group of nilpotency class k≥3 and prime power exponent P^e (where p is a prime and is not equal 3). In this paper, we show that the exponent of triple tensor product of G, that is, (G⨂G)⨂G, divides P^([k/2]-1)e where [k/2] denotes the smallest integer n such that n≥k/2. In this way, the exponent provided by Ellis is improved.

Keywords


Article Title [Persian]

نمای حاصلضرب تانسوری سه تایی p_گروه ها

Authors [Persian]

  • حلیمه هادی زاده
  • سید هادی جعفری
گروه ریاضی، واحد مشهد، دانشگاه آزاد اسلامی، مشهد، ایران
Abstract [Persian]

حاصل‌‌‌‌‌‌‌‌ضرب تانسوری ناآبلی گروه‌ها که در ـk نظریه جبری و توپولوژی جبری ریشه دارد نخستین بار در سال ۱۹۸۷ توسط براون و لودی معرفی شد. از آن پس به عنوان یک موضوع مستقل در نظریه گروه‌ها، مطالعات فراوانی بر روی آن صورت گرفت. به ویژه پاره‌ای تلاش‌ها در خصوص به‌‌دست آوردن رابطه‌ای معنادار بین نمای یک گروه و نمای مربع تانسوری ناآبلی آن، به انجام رسیده است.
اما در حالتی‌که تعداد دفعات تانسور یک گروه با خودش افزایش می‌‌یابد، به دلیل پیچیدگی و ازدیاد محاسبات، مطالعه چندانی صورت نگرفته است. در این مقاله ما برآنیم که در حالت تانسور سه‌تایی یک گروه، نتیجه بهتری نسبت به گذشته در مورد نمای آن ارائه کنیم.
فرض کنید G یک گروه پوچ‌توان از رده پوچ‌ توانی k≥۳ و دارای نمای p^e باشد که p یک عدد اول و مخالف ۳ است. ما در این مقاله نشان می‌دهیم نمای حاصل‌ضرب تانسوری سه‌تایی G، یعنی‌ G⊗G)⊗G)، عدد p^([k/۲]-۱)e را می‌شمارد که در آن [k/۲] کوچک‌ترین عدد صحیح بزرگ‌تر یا مساوی k/۲ می‌باشد. بدین ترتیب نمای ارائه شده توسط الیس، بهبود می‌یابد.

Keywords [Persian]

  • حاصل‌ضرب تانسوری ناآبلی
  • گروه پوچ‌توان
  • رده پوچ‌توانی
  • نمای گروه
[1] B. Ahmadi, H. Doostie, On the 2-generator p-groups with non-cyclic commutator subgroup, Math. 4: 73-78 (2014).

 

[2] R. Brown, J. L. Loday, Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology. 26: 311-335 (1987).

 

 

[3] R. Brown, D. L. Johnson, E. F. Robertson, Some computations of nonabelian tensor products of groups, J. Algebra. 111: 177-202 (1987).

 

[4] J. Burns, G. Ellis, On the nilpotent multipliers of a group, Math. z. 226: 405-428 (1997).

 

[5] G. Ellis, On the tensor square of a prime power group, Arch. Math. 66: 467-469 (1996).

 

[6] G. Ellis, A. Mcdermott, Tensor products of prime-power groups, J. Pure. Appl. Algebra. 132: 119-128 (1998).

 

[7] G. Ellis, On the relation between upper central quotients and lower central series of a group, Trans. Amer. Math. Soc. 353: 4219-4234 (2001).

 

[8] S. H. Jafari, A bound on the order of non-abelian tensor square of a prime-power group, Comm. Algebra. 40: 528-530 (2012).

 

[9] S. H. Jafari, F. Saeedi, E. Khamseh, Characterization of finite groups by their non-abelian tensor square, Comm. Algebra. 41: 1954-1963 (2013).

 

[10] R. James, The groups of order  (  an odd prime), Math. Comp. 34: 613-637 (1980).

 

[11] E. Khamseh, M. R. R. Moghaddam, F. Saeedi, Characterization of finite -groups by their schur multiplier, J. Algebra. Appl. 12: 1250035_1-1250035_9 (2013).

 

[12] P. Moravec, The exponents of nonabelian tensor products of groups, J. Algebra. 212: 1840-1848 (2008).