A VARIATIONAL APPROACH TO THE EXISTENCE OF INFINITELY MANY SOLUTIONS FOR DIFFERENCE EQUATIONS

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Basic Science, Sari Agricultural Sciences and natural Resources University, 578 Sari, Iran

2 bDepartment of Mathematics, University of Ruse, Ruse, Bulgaria. Associate at Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, 1113- Sofia, Bulgaria

3 Department of Science, Grande Prairie Regional College, Grande Prairie, AB T8W 0A8, Canada

Abstract

The existence of infinitely many solutions for an anisotropic discrete non-linear problem with variable exponent according to p(k)–Laplacian operator with Dirichlet boundary value condition, under appropriate behaviors of the non-linear term, is investigated. The technical approach is based on a local minimum theorem for differentiable functionals due to Ricceri. We point out a theorem as a special case of our main results. We define two differentiable functionals and set up the variational framework and present an applied lemma which $lambda$ lying in a well-defined interval. Bearing in mind this fundamental lemma and the local minimum theorem due to Ricceri, we obtain our result which is the existence of a sequence of infinitely many solutions which converges to zero depending on the nonlinear term has suitable behavior at zero. We ensure exact interval of the parameter $lambda$, in which the anisotropic discrete non-linear problem admits infinitely solutions such that their norm converges to zero. Some remarks and corollaries and the proof of especial case theorem are provided. Some examples are inserted to illustrate the importance of the main results.

Keywords


Article Title [Persian]

رویکرد تغییراتی برای وجود بینهایت جواب معادلات تفاضلی

Authors [Persian]

  • مجسن خالقی مقدم 1
  • استفان ترزین 2
  • مصطفی اوسی 3
1 گروه علوم پایه، دانشگاه علوم کشاورزی و منابع طبیعی ساری، ایران
2 استاد، گروه ریاضی، دانشگاه روز، روز، بلغارستان
3 دانشیار، گروه علوم، کالج منطقه‌ای گراند پریری، گراند پریری، کانادا
Abstract [Persian]

در این مقاله وجود بینهایت جواب برای مساله گسسته غیر خطی ناهمسانگر با نمای متغیر متناظر با عملگر ;پی کا- لاپلاسین با شرط مرزی دیریکله تحت رفتارهای مناسب تابع غیر خطی بررسی شده است. روش تغییراتی برای تابعک‌های مشتق پذیر بعنوان تکنیک حل مساله است که بر مبنای قضیه مینیموم موضعی ریچری مورد استفاده قرار می‌گیرد. قضیه‌ای بعنوان یک نمونه از نتایج اصلی که در واقع بیان موضوع در یک حالت خاص است، ارائه می‌شود. با انتخاب دو تابعک غیر خطی مشتق پذیر و بنا نهادن چهارچوب تغییراتی، یک لم کاربردی ارائه می‌شود که در آن پارامتر لاندا در یک بازه مشخص قرار دارد. با در نظر گرفتن این لم اساسی و استفاده از قضیه مینیموم ریچری، نتیجه اصلی که وجود یک دنباله از بینهایت جواب همگرا به صفر تحت رفتارهای مناسب در صفر برای تابع غیر خطی می‌باشد، بیان می‌شود. بطوری-که مساله گسسته غیر خطی ناهمسانگر در یک بازه‌ی دقیق لاندا از پارامتر ، بینهایت جواب می‌پذیرد که نرم این جواب‌ها به صفر میل می‌کند. در ادامه چند تبصره و گزاره و اثبات حالت خاص نتیجه اصلی مطرح می‌شود. در خاتمه برای توضیح نتایج اصلی چندین مثال بعنوان کاربردهایی از مساله ارائه شده است.

Keywords [Persian]

  • مساله مقدار مرزی غیر خطی گسسته
  • بینهایت جواب
  • روش تغییراتی
  • تئوری نقطه بحرانی
[1] M Avci (2016). Existence results for anisotropic discrete boundary value problems, Electronic J. Diff. Eq.

 

[2] M Avci, A Pankov (2015) Nontrivial solutions of discrete nonlinear equations with variable exponent, J. Math. Anal. Appl.

 

[3] L-H Bian, H-R Sun and Q-G Zhang, (2012) Solutions for discrete -Laplacian periodic boundary value problems via critical point theory, J. Differ. Equ. Appl.

 

[4] G Bonanno, P Candito (2009) Infinitely many solutions for a class of discrete non-linear boundary value problems, Appl. Anal.

 

[5] G Bonanno, P Candito (2009) Nonlinear difference equations investigated via critical points methods, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl.

 

[6] G Bonanno, P Candito and G D’Agu‘i (2014) Variational methods on finite dimensional Banach spaces and discrete problems, Adv. Nonlinear Stud.

 

[7] G Bonanno, G Molica Bisci (2009) Infinitely many solutions for a boundary

value problem with discontinuous nonlinearities, Bound. Value Probl.

 

[8] M Galewski, S Glab and R Wieteska (2013) Positive solutions for anisotropic discrete boundary-value problems, Electronic Journal of Differential Equations.

 

[9] L Jiang, Z Zhou (2008) Three solutions to Dirichlet boundary value problems for

p-Laplacian difference equations, Adv. Diff. Equ.

 

 [10] M Khaleghi Moghadam (2018) Existence of infinitely many solutions for a class of difference equations with boundary value conditions involving p(k)-Laplacian operator, Cogent Mathematics & Statistics

[11] M Khaleghi Moghadam, M Avci (2017) Existence results to a nonlinear -Laplacian difference equation, J. Difference Equ. Appl.

 

[12] M Khaleghi Moghadam, S Heidarkhani and J. Henderson (2014) Infinitely many solutions for perturbed difference equations, J. Difference Equ. Appl.

 

[13] M Khaleghi Moghadam, J Henderson (2017) Triple solutions for a dirichlet boundary value problem involving a perturbed discrete -laplacian operator, Open Mathematics J.

 

[14] M Khaleghi Moghadam, L Li and S Tersian (2018) Existence of three solutions for a discrete anisotropic boundary value problem, Bull. Iranian Math. Sco.

 

[15] M Khaleghi Moghadam, R Wieteska (2018) Existence and uniqueness of positive solution for nonlinear difference equations involving p(k)-Laplacian operator, An. Stiint. Univ. Ovidius Constant a Ser. Mat.

 

[16] Y Liu, W Ge (2003) Twin positive solutions of boundary value problems for finite difference equations with -Laplacian operator, J. Math. Anal. Appl.

 

[17] Y Li, L Lu (2006) Existence of positive solutions of -Laplacian difference equations, Appl. Math. Lett.

 

[18] M Mih ilescu, V R dulescu and S Tersian (2009) Eigenvalue problems for anisotropic discrete boundary value problems, J. Difference Equ. Appl.

 

[19] B Ricceri (2000) A general variational principle and some of its applications, J. Comput. Appl. Math.

 

[20] A Salari, G Caristi, D Barilla and A Puglisi (2016) A variational approach to perturbed discrete anisotropic equations, Abstr. Appl. Anal.