Orthogonality preserving mappings on inner product C* -modules

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Mathematics, Mashhad Branch Islamic Azad University, Mashhad, Iran

2 Associate Professor, Department of Mathematics, Mashhad Branch, Islamic Azad University, Mashhad, Iran

Abstract

Suppose that A is a C^*-algebra. We consider the class of A-linear mappins between two inner product A-modules such that for each two orthogonal vectors in the domain space their values are orthogonal in the target space. In this paper, we intend to determine A-linear mappings that preserve orthogonality. For this purpose, suppose that E and F are two inner product A-modules and A+ is the set of all positive elements of A. We show that an A-linear mapping T:E→F preserves orthogonality if and only if there exists a∈A+ such that ⟨Tx,Ty⟩= a^2 ⟨x,y⟩ for each x,y∈E. At first recall that two vector x,y∈E are ordinary orthogonal if ⟨x,y⟩=0 and then we introduce the notion of orthogonality in an inner product A-module in three ways and show that an A-linear mapping between two inner product A-modules preserves the ordinary orthogonality if and only if it preserves each one of the new orthogonality.

Keywords


Article Title [Persian]

نگاشت های حافظ تعامد روی فضاهای* C- مدول ضرب داخلی

Authors [Persian]

  • علی خلیلی قلی آباد 1
  • مریم امیاری 2
1 گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی واحد مشهد، مشهد، ایران
2 دانشیارگروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی واحد مشهد، مشهد، ایران
Abstract [Persian]

فرض کنید A یک C^*-جبرباشد، رده تمام نگاشت های A –خطی بین دو فضای A- مدول ضرب داخلی را در نظر می گیریم به طوری که برای هر دو بردار عمود برهم در فضای دامنه، تصاویر آنها تحت نگاشت مورد نظر در فضای برد، بر هم عمود باشند. در این مقاله، قصد داریم ی شکل نگاشتهای A –خطی که تعامد را حفظ می کنند، معین کنیم. برای این منظور فرض کنیم E و F دو فضای A -مدول ضرب داخلی باشند و +A مجموعه تمام عناصر مثبت A باشد. ثابت می کنیم که یک نگاشت A -خطی T:E→F تعامد را حفظ می کند اگر وفقط اگر +a∈A وجود داشته باشد به قسمی که به ازای هر x,y∈E تساوی ⟨Tx,Ty⟩= a2 ⟨x,y⟩ برقرار باشد. ابتدا یادآوری می کنیم دو بردار x,y به طور معمولی بر هم عمود هستند اگر وفقط اگر =0و سپس مفهوم تعامد در یک فضای A- مدول ضرب داخلی را به سه روش جدید ارائه می کنیم و نشان می دهیم که یک نگاشت A –خطی حافظ تعامد معمولی است اگر و فقط اگر حافظ هر کدام از تعامد های جدید باشد.

Keywords [Persian]

  • تعامد
  • نگاشت حافظ تعامد
  • فضای A-مدول ضرب داخلی
 [1] Chmieli’nski, J., 2005. Linear mappings approximately preserving orthogonality, J. Math. Anal. Appl. 304, pp.158--169.

 

[2] Murphy, G. J., 1990. C*-algebras and operator theory, Academic Press Inc., Boston,MA.

 

[3] Lance, E. C., 1995.  Hilbert C*-modules A Toolkit for Operator Algebraists, Cam-

bridge Univ. Press, Cambridge.

 

[4] Ilišević, D., and  Turensk, A., 2008.  Approximately orthogonality preserving mappings on C*-modules,

J. Math. Anal. Appl., 341(1), pp. 298--308.