A new characterization for Meir-Keeler condensing operators and its applications

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Mathematics, Mahabad Branch, Islamic Azad university, Mahabad, Iran

2 Department of Mathematics, Arak Branch, Islamic Azad University, Arak, Iran.

Abstract

Darbo's fixed point theorem and its generalizations play a crucial role in the existence of solutions in integral equations. Meir-Keeler condensing operators is a generalization of Darbo's fixed point theorem and most of other generalizations are a special case of this result. In recent years, some authors applied these generalizations to solve several special integral equations and some of them presented a characterization for Meir-Keeler condensing operators, which needs L-functions. But, finding an appropriate L-function needs more struggle. In this paper, we give a characterization for Meir-Keeler condensing operators via measure of non-compactness. Current characterization presents a criterion by which we can show that if a given generalization of Darbo's fixed point theorem is Meer-Keeler condensing or not. Ultimately, we give several corollaries and point out several generalizations of Darbo's fixed point theorem and show that all of them are Meir-Keeler condensing operator or a special case of this result.

Keywords


Article Title [Persian]

یک مشخص سازی جدید برای عملگر های میر- کیلر جمع شونده و کاربرد های آن

Authors [Persian]

  • حسن خندانی 1
  • فرشید خجسته 2
1 گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی، واحدمهاباد، مهاباد، ایران
2 گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی، واحداراک، اراک، ایران
Abstract [Persian]

ققضیه نقطه ثابت داربو و تعمیم‌های آن نقش بسیار مهمی در حل وجودی معادلات انتگرال دارد. قضیه نقطه ثابت برای نگاشتهای میر-کیلر جمع شونده یکی از تعمیمهای قضیه داربو است که بسیاری از تعمیمهای دیگر حالت خاصی از آن هستند. در سالهای اخیر، نویسندگان زیادی از این توسیعها برای حل تعدادی از معادلات انتگرال استفاده کرده‌اند. برخی از آنها با استفاده از اندازه نافشردگی و الهام گرفتن از انقباض‌های میر-کیلر در فضاهای متری، یک مشخص سازی برای نگاشتهای میر-کیلر جمع شونده ارایه کرده اند. اما از آنجا که این مشخصه سازی ها نیازمند وجود یک - تابع هستند و پیدا کردن یک - تابع نیازمند تلاش زیادی است بنابراین چنین مشخص سازی هایی عملا بی فایده اند. لذا بر آن شدیم که یک مشخصه سازی جدید برای این نوع عملگرها بیابیم. در این مقاله، با استفاده از مفهوم اندازه نافشردگی یک مشخص سازی جدید برای نگاشتهای میر-کیلر جمع شونده را ارایه می‌کنیم. مشخص سازی حاضر معیاری را بدست می‌دهد که بوسیله آن می‌توان بررسی کرد که یک تعمیم ارایه شده از قضیه داربو یک انقباض میر-کیلر جمع شونده است یا خیر. در پایان با استفاده از مشخص سازی ارایه شده نشان می‌دهیم که بسیاری از تعمیمهای قضیه داربو که تا کنون ارایه شده اند از نوع میر-کیلر جمع شونده هستند.

Keywords [Persian]

  • عملگر های از نوع S
  • L-تابع
  • قضیه نقطه ثابت داربو
  • اندازه نافشردگی
[1] Agarwal, R.P., Meehan, M., O'Regan, D., "Fixed point theory and applications", Cambridge University Press, (2001).

 

[2] Meir, A., Keeler, E., "A theorem on contraction mappings", J. Math. Anal. Appl, 28(2) (1969), 326-329.

 

[3] Lim T. C., "On characterizations of Meir–Keeler contractive maps", Nonlinear Anal. (TMA), 46(1) (2001), 113-120.

 

[4] Khandani, H., "A characterization for Meir-Keeler contractions", Rend. Circ. Mat. Palermo Seri 2, 5 (2017), 1-15.

 

[5] Banaś, J., Jleli, M., Mursaleen, M., Samet, B., Vetro C., "Advances in Nonlinear Analysis via the Concept of Measure of Noncompactness", Springer-Verlag, (2017).

 

[6] Aghajani, A., M. Mursaleen, M., Haghighi, A. S., "Fixed point theorems for Meir-Keeler condensing operators via measure of noncompactness", Acta. Math. Sci, 35(3) (2015), 552-566.

 

[7] Akhmerov, R. R., Kamenskii, I. M., Potapov, A. S., Rodkina, A. E., Sadovskii, B. N., "Measures of noncompactness and condensing operators", Birkhauser Verlag, (1992).

 

[8] Khandani, H., "An extension of Sadovskii’s fixed-point theorem with applications to integral equations", (2018) (DOI: http://sci-hub.tw/10.1007/s11784-017-0481-6).

 

[9] Vetro, C., Vetro, F., "On the existence of at least a solution for functional integral equations via measure of noncompactness", Banach J. Math. Anal, 11(3) (2017), 497-512.

[10] Gavruta, L., Gavruta, P., Khojasteh, F., "Two classes of Meir-Keeler contractions", arXiv preprint arXiv: 1405.5034, (2014).

 

[11] Samadi, A., Ghaemi, M. B., "An extension of Darbo fixed point theorem and its applications to coupled fixed point and integral equations", Filomat, 28(4) (2014), 879-886.

 

[12] Aghajani, A., Some generalizations of Darbo fixed point theorem and applications, Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, 20(2013), no. 2.

 

[13] Cai, L., Liang, J., "New generalizations of Darbo’s fixed point theorem", Fixed Point Theory and Appl., 2015(1)(2015), 156p.

[14] Suzuki, T., "Meir-Keeler contractions of integral type are still Meir-Keeler contractions", Int. J. Math. Math. Sci, 2007(2007), Article ID 39281, 6 pages( Doi: http://dx.doi.org/ 10.1155/ 2007/39281)
 

[15] Jachymski, J., O'zwik, I., "Nonlinear contractive conditions: a comparison and related problems", Banach Center Publ., 77(2007), 123-146.

 

[16] Branciari, A., "Fixed point theorem for mappings satisfying a general contractive condition of integral type", Int. J. Math. Math. Sci, 29(9)(2000), 531-536.

 

[17] Banaś, J., "On measures of noncompactness in Banach spaces", Comment. Math. Univ. Carolin, 21(1980), 131-143.