Adjacency metric dimension of the 2-absorbing ideals graph

Document Type: research paper

Authors

Department of Mathematics, Imam Khomeini International University

Abstract

Let Γ=(V,E) be a graph and ‎W_(‎a)=\{w_1,…,w_k \} be a subset of the vertices of Γ and v be a vertex of it.
The k-vector r_2 (v∣ W_a)=(a_Γ (v,w_1),‎…‎ ,a_Γ (v,w_k)) is the adjacency representation of v with respect to W in which a_Γ (v,w_i )=min\{2,d_Γ (v,w_i )\} and d_Γ (v,w_i ) is the distance between v and w_i in Γ. W_a is called as an adjacency resolving set for Γ if distinct vertices of Γ have distinct adjacency representations w.r.t W_a. The size of the smallest adjacency resolving set is the adjacency metric dimension of Γ and is denoted by ‎dim_a‎(Γ).
In this paper, we prove that dim_a(Γ_E (Z_(P^n ) ))=⌈(n-2)/2⌉. Also, we show that Γ_E (Z_(p^2n ) )≅Γ_E (R/I) in which p is a prime number, n is a natural number and I is a 2-absorbing ideal of the ring R which has a minimal primitive decomposition in the form of the intersection of n primitive ideals. Finally we conclude that dim_a⁡〖(Γ_E (R/I))=n-1〗.

Keywords


Article Title [Persian]

بعد متری مجاورتی گراف وابسته به ایده‌آل‌های دو جاذب

Authors [Persian]

  • سیده بتول پژمان
  • شیرویه پیروی
  • علی بهتوئی
دانشجوی دکتری،گروه ریاضی محض، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین‌المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
Abstract [Persian]

فرض کنید Γ=(V,E) یک گراف باشد. هم‌چنین فرض کنید مجموعه مرتب ‎W_(‎a)={w_1,…,w_k }زیرمجموعه‌ای از رئوس Γ و v یک رأس از آن باشد. بردار k‎‏-تایی r_2 (v∣ W_a)=(a_Γ (v,w_1),‎…‎ ,a_Γ (v,w_k)) نمایش مجاورتی‎‎ ‏‎v نسبت به W_a نامیده می‌شود که در آن a_Γ (v,w_i )=min{2,d_Γ (v,w_i )} و d_Γ (v,w_i ) فاصله دو رأس v و w_i در Γ است. W_a مجموعه کاشف مجاورتی برای Γ نامیده می‌شود هرگاه نمایش‌های مجاورتی رئوس متمایزΓ‎‎ نسبت به W_a متمایز باشند. اندازه‌ کوچکترین مجموعه‌‌ کاشف مجاورتی، بعد متری مجاورتی برای Γ ‎‎ نامیده شده و با ‎dim_a‎(Γ) نشان داده می‌شود. در این مقاله ابتدا ثابت می‌کنیم که dim_a⁡〖(Γ_E (Z_(P^n ) ))=⌈(n-2)/2⌉〗. هم‌چنین نشان می‌دهیم Γ_E (Z_(p^2n ) )≅Γ_E (R/I)، که در آن p عددی اول، n عددی طبیعی و I ایده‌آلی دوجاذب از R است که تجزیه اولیه و مینیمال آن به‌صورت اشتراک n ایده‌آل اولیه است. سرانجام نتیجه می‌شود dim_a⁡〖(Γ_E (R/I))=n-1〗.

Keywords [Persian]

  • مجموعه کاشف
  • بعد متری مجاورتی
  • گراف رده‌های هم‌ارزی
  • ایده‌آل دوجاذب
  • شمارنده صفر
[1] N. Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge University Press, 1974.

 

[2] J. Caceres, C. Hernando, M. Mora, I.M. Pelayo, M.L. Puertas, C. Seara and D.R. Wood, On the metric dimension of some families of graphs, Electron. Notes Discrete Math., 22(2005), pp. 129-133.

 

[3] J. Caceres, C. Hernando, M. Mora, I.M. Pelayo, M.L. Puertas, C. Seara and D.R. Wood, On the metric dimension of cartesian product of graphs, SIAM, J. Disc. Math., 2 (2007), pp. 423-441.

 

[4] G. Chartrand, L. Eroh, M.A. Johnson, and O.R. Oellermann, Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph, Discrete Appl. Math., 105(2000), pp. 99-113.

 

[5] F. Harary, R.A. Melter, On the Metric Dimension of a graph, Ars Combin., 2(1976), pp. 191-195.

 

[6] C. Hernando, M. Mora, I.M. Pelayo, C. Seara, D. R. Wood, Extremal Graph Theory for Metric Dimension and Diameter, Electron. J. Combin., 17(2010), pp. 1-28.

 

[7] M. Jannesari, B. Omoomi, The metric dimension of the lexicographic product of graphs, Discrete Math., 312(2012), pp. 3349-3356.

 

 [8] M. Jannesari, B. Omoomi‎‎, Characterization of n-vertex graphs with metric dimension n-3, Math. Bohem., 139(2014), pp. 1-23.

 

[9] Sh. Payrovi, S. Babaei, On the 2-absorbing ideals and zero divisor graph of equivalence classes of zero divisors, Journal of Hyperstructures, 3 (2014), pp. 1-9.

 

[10] R.Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, second edition, London Mathematical SocietyStudent Texts 51, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

[11] P.J. Slater, Leaves of trees, Congressus Numerantium 14(1975) pp. 549-559.

 

[12] S. Spiroff, C. Wickham, A zero divisor graph determind by equivalence classes of zero divisors, Comm. Algebra, 39(2011), pp. 2338-2348.

 

[13] F. Levidiotis , S. Spiroff, Five-point zero-divisor graphs determined by equivalence classes ,Involve, 4 (2011), pp. 53-64.