Truth Values and Connectives in Some Non-Classical Logics

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Mathematics, Qazvin Branch, Islamic Azad University, Qazvin , Iran

2 Basic Sciences Research Center, Tabriz University, Tabriz, Iran

Abstract

The question as to whether the propositional logic of Heyting, which was a formalization of Brouwer's intuitionistic logic, is finitely many valued or not, was open for a while (the question was asked by Hahn). Kurt Gödel (1932) introduced an infinite decreasing chain of intermediate logics, which are known nowadays as Gödel logics, for showing that the intuitionistic logic is not finitely (many) valued. Now we know that the propositional intuitionistic logic is infinitely many valued (with a countably many logical values). In this paper we provide another proof for this result of Gödel, from the perspective of Kripke model theory. Švejadr and Bendova (2000) proved that in Gödel fuzzy logic the conjunction and implication are not definable by the rest of the propositional connectives (while disjunction is definable by conjunction and implication). In this paper, we show that disjunction is not definable by implication and negation in Gödel fuzzy logic; two proofs, one by Kripke models and one by fuzzy semantics, are provided for this new theorem.

Keywords


Article Title [Persian]

ارزش ها و رابط ها در برخی منطق های غیر کلاسیک

Authors [Persian]

  • پروین صفری 1
  • سعید صالحی پور 2
1 گروه ریاضی، دانشگاه آزاد اسلامی واحد قزوین، قزوین، ایران
2 مرکز تحقیقات علوم پایه دانشگاه تبریز، تبریز، ایران
Abstract [Persian]

برای مدتی این پرسش مطرح بود که آیا منطق گزاره‌ای هیتینگ، که یک صوری‌سازی برای منطق شهودی براوور است، متناهیاً ارزشی هست یا نه (این پرسش توسط هان مطرح شده بود). کورت گودل (1932) یک زنجیره نزولی نامتناهی از منطق‌های میانی، که اکنون منطق‌های گودل نامیده می‌شوند را برای نشان دادن اینکه منطق شهودی متناهیاً (چند) ارزشی نیست، معرفی نمود. اکنون می‌دانیم که منطق گزاره‌ای شهودی، نامتناهیاً چند ارزشی (با تعدادی شمارا ارزش منطقی) است. ما در این مقاله یک برهان دیگر برای این نتیجه گودل، از دیدگاه نظریه مدل‌های کریپکی، ارایه می‌کنیم. اشوِیدار و بندووا (2000) ثابت کردند که در منطق فازی گودل، ادات ترکیب عطف و استلزام توسط بقیه ادات ترکیب گزاره‌ای قابل تعریف نیستند (با اینکه ترکیب فصلی توسط عطف و استلزام قابل تعریف است). ما در این مقاله نشان می‌دهیم که ترکیب فصلی توسط استلزام و نقیض در منطق فازی گودل تعریف‌پذیر نیست؛ دو برهان برای این قضیه جدید، توسط مدل‌های کریپکی و معناشناسی فازی، ارایه می‌گردند.

Keywords [Persian]

  • منطق فازی
  • منطق شهودی
  • منطق گودل
  • مدل کریپکی
  • تعریف پذیری

 

[1]      K. BENDOVA, A Note on Gödel Fuzzy Logic, Soft Computing 2 (1999) 167.

 

[2]      M. DUMMET, A Propositional Calculus with Denumerable Matrix, The Jour­nal of Symbolic Logic 24 (1959) 97—106.

 

[3] K. GÖDEL, Zum Intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 (1932) 65—66. Translated as ‘On the Intuitionistic Propositional Calculus', in: Kurt Cödel Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936, eds.: S. Feferman et al. (Ox­ford University Press 1986).

 

[4] G. MINTS, A Short Introduction to Intuitionistic Logic (Kluwer 2002).

 

[5]      P. SAFARI & S. SALEHI, Kripke Semantics for Fuzzy Logics, Soft Computing 22 (2018) 839—844.

 

[6]      V.ŠVEJDAR &K.BENDOVA, On Inter—Expressibility of Logical Connectives in Gödel Fuzzy Logic, Soft Computing 4 (2000) 103—105.