*-σ-biderivations on *-rings

Document Type: research paper

Author

ssistant Professor, Department of Mathematics and Computer Sciences (Analysis Research), Hakim Sabzevari University, Sabzevar, Iran

Abstract

Bresar in 1993 proved that each biderivation on a noncommutative prime ring is a multiple of a commutatot. A result of it is a characterization of commuting additive mappings, because each commuting additive map give rise to a biderivation. Then in 1995, he investigated biderivations, generalized biderivations and sigma-biderivations on a prime ring and generalized the results of derivations for them. He showed every generalized biderivation G of an ideal in a prime ring R is of the form G(x,y)=xay+ybx, where a,b are the elements of the symmetric Martindale ring of quotionts of R. Ali in 2012, studied *-derivations on a *-ring and showed that *-derivations maps to the center of ring.
In this paper, we introduce *-biderivations and *-sigma-biderivations on a *-ring. Then some results obtained by Bresar and Ali generalize for these mapping to a class of *-rings. That is, each *-sigma-biderivation is characterized on a prime *-ring and show that each *-biderivation maps to the center of ring.

Keywords


Article Title [Persian]

*-σ- دواشتقاق‌ها روی *-حلقه‌ها

Author [Persian]

  • طیبه لعل شاطری
استادیار، گروه ریاضی محض (آنالیز)، دانشکدة ریاضی و علوم کامپیوتر ـ دانشگاه حکیم سبزواری ـ سبزوار ـ ایران
Abstract [Persian]

برشار در 1993 نشان داد هر دو اشتقاق روی یک حلقه اول ناجابجایی مضربی از یک جابجاگر است. نتیجه مستقیم آن شناسایی نگاشت های جمعی جابجاگر روی حلقه های اول است زیرا از هر نگاشت جمعی جابجاگر می توان یک دو اشتقاق به دست آورد. سپس در 1995، دو اشتقاق، دواشتقاق تعمیم یافته و σ-دواشتقاق را روی یک حلقه اول بررسی و نتایج اشتقاق‌ها را در باره آنها تعمیم داد. او نشان داد هر دواشتقاق تعمیم یافته G را می توان به صورت G(x,y)=xay+ybx نوشت که در آن a,b عناصری از حلقه مارتین دیل خارج قسمت های R هستند. هم چنین علی در 2012، *-اشتقاق ها را روی یک حلقه نیمه اول مطالعه کرد و نشان داد *-اشتقاق ها به مرکز حلقه تصویر می شوند.
در این مقاله، *-دو اشتقاق و* -σ-دواشتقاق را روی یک *-حلقه معرفی می‌کنیم، سپس بعضی نتایج به دست آمده توسط برشار و علی را برای این نگاشت ها روی یک دسته از *-حلقه‌ها تعمیم می دهیم. یعنی *-دواشتقاق را روی یک *-حلقه اول شناسایی کرده و نشان می دهیم هر *-دواشتقاق روی *-حلقه نیمه اول به مرکز حلقه تصویر می شود.

Keywords [Persian]

  • حلقه اول
  • حلقه نیمه اول
  • *-حلقه
  • *-دواشتقاق
  • * -σ-دواشتقاق
[1]M. Brešar, On generalized biderivations and related maps, J. Algebra, 172: 765-786 (1995)

 

[2] S. Ali, On generalized -derivations in *-rings, palestine J. Math.,1: 32-37 (2012)

 

[3] E. C. Posner, Derivations in primen rinegs, Proc. Amer. Math. Soc. 8: 1093-1100 (1957)

 

[4] M. Brešar, Centralizing mappings and derivations in prime rings, J. Algrbra 156: 385-394 (1993)

 

[5] C. Lanski, Differential identities, Lie ideals, and Posner’s theorems, Pacific J. Math. 134: 275-297(1988)

 

[6] H. E. Bell and W. S. Martindale III, Centralizing mappings of seniprime rings. Canad. Math Bull., 30(1): 92-101 (1987)

 

[7] L. Oukhtite,. An extension of Posner’s second theorem to rings with involution, Int. J. Modern Math., 4: 303-308 (2009)

 

[8] L. Oukhtite and L. Taoufiq, Some properties of derivations on rings with involution, Int. J. Modern Math., 4: 309-315 (2009)

 

[9] W. S. Martindale, prime rings satis fying a generalized polynomial identity, J. Aalgebra, 12: 576-589 (1969)

 

[10] D. Passman, Infinite crossed products, Academic press, san Diego, (1989)