The study on controlled g-frames and controlled fusion frames in Hilbert C*-modules

Document Type: research paper

Author

Young Researchers and Elite Club Kahnooj Branch, Islamic Azad University, Kahnooj, Iran.

Abstract

Controlled frames have been introduced to improve the numerical efficiency of iterative algorithms for inverting the frame operator on abstract Hilbert spaces. Fusion frames and g-frames generalize frames. Hilbert C*-modules form a wide category between Hilbert spaces and Banach spaces. Hilbert C*-modules are generalizations of Hilbert spaces by allowing the inner product to take values in a C*-algebra rather than in the field of complex numbers.

In this paper, we define and characterize controlled g-frames and controlled fusion frames in Hilbert C*-modules. These are generalization of controlled frames in Hilbert C*-modules and also controlled g-frames and controlled fusion frames in Hilbert spaces. We show, similar in Hilbert space, every controlled g-frame in Hilbert C*-module is an usual g-frame. Also we study the relation between controlled fusion frames and fusion frames in Hilbert C*-modules. Finally we present a sufficient condition on a family of closed submodules to be a controlled fusion frame.

Keywords


Article Title [Persian]

مطالعه ای بر g-قابهای کنترل شده و قابهای فیوژن کنترل شده در *C-مدولهای هیلبرتی

Author [Persian]

  • مهدی رشیدی کوچی
باشگاه پژوهشگران جوان و نخبگان ، واحد کهنوج، دانشگاه آزاد اسلامی، کهنوج، ایران
Abstract [Persian]

قابهای کنترل شده ارائه شدند تا حل عددی از الگوریتم های بازگشتی برای یافتن معکوس عملگر قاب روی فضای مجرد هیلبرت بهبود یابد. قابهای تلفیقی و g-قابها تعمیمی از مفهوم قابها می باشند. فضاهای C*-مدول هیلبرتی دسته وسیعی ما بین فضاهای هیلبرت و فضاهای باناخ هستند. این فضاها تعمیمی از فضاهای هیلبرت می باشند با این تفاوت که ضرب داخلی در C*-جبر قرار می گیرد نه لزوماً در مجموعه اعدا مختلط.
در این مقاله g-قابهای کنترل شده و قابهای فیوژن کنترل شده در C*-مدول هیلبرتی تعریف و مشخص گردیده اند. مشابه فضای هیلبرت نشان داده می شود که در فضای C*-مدول هیلبرتی هر g-قاب کنترل شده ای یک g-قاب معمولی است و بلعکس. همچنین رابطه بین قابهای فیوژن کنترل شده در فضای C*-مدول هیلبرتی و قابهای فیوژن مورد بررسی قرار گرفته شده است. در نهایت شرط کافی که بیان می دارد چگونه خانواده ای از زیر مدولهای بسته قاب فیوژن کنترل شده را تشکیل می دهند بیان گردیده است.

Keywords [Persian]

  • *C-مدول هیلبرتی٬ قاب٬ g-قاب٬ قاب تلفیقی٬ قاب کنترل شده
[1] R. J. Duffin. A.C. Schaeffer. A class of nonharmonic Fourier series. Transactions of the American Mathematical Society 72. 341-366. (1952).

 

[2] I. Daubechies. A. Grossmann.Y. Meyer. Painless nonorthogonal expansions. Journal of Mathematical Physics. 27. 1271-1283. (1986).

 

[3] O. Christensen. An Introduction to Frames and Riesz Bases. Birkhauser. Boston. (2003).

 

[4] I. Kaplansky. Algebra of type I. Annals of Mathematics.. 56. 460-472. (1952).

 

[5] M. Frank. D.R. Larson. A module frame concept for Hilbert C*-modules. in: Functional and Harmonic Analysis of Wavelets. San Antonio. TX. January 1999. Contemp. Math. 247. Amer. Math. Soc.. Providence. RI 207-233. (2000).

 

[6] E. C. Lance. Hilbert C*-Modules: A Toolkit for Operator Algebraists. London Math. Soc. Lecture Note Ser. 210. Cambridge Univ. Press. (1995).

 

[7] N. E. Wegge-Olsen. K-theory and C*-algebras a Friendly Approach. Oxford University Press. Oxford. England. (1993).

 

[8] M. Frank. D.R. Larson. Frames in Hilbert C*-modules and C*-algebras. Journal of Operator Theory 48. 273-314. (2002).

 

[9] W. Jing. Frames in Hilbert C*-modules. Ph. D. thesis. University of Central Florida

Orlando. Florida (2006).

 

[10] M. Rashidi-Kouchi. A. Nazari. M. Amini. On stability of g-frames and g-Riesz bases

in Hilbert C*-modules. International Journal of Wavelets. Multiresolution and Information Processing. 12(6). 1-16. (2014).

 

[11] A. Khosravi. B. Khosravi. Fusion frames and g-frames in Hilbert C*-modules. International Journal of Wavelets. Multiresolution and Information Processing. 6 (2008) 433–466.

 

[12] M. Rashidi-Kouchi and A. Rahimi. Controlled frames in Hilbert C*-modules. International Journal of Wavelets. Multiresolution and Information Processing.. 15(4). 1-15. (2017).

 

[13] A. Khosravi and K. Musazadeh. Controlled fusion frames.  Methods of Functional Analysis and Topology. 18(3). 256-265. (2012).