Completeness in Probabilistic Metric Spaces

Document Type: research paper

Authors

Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran.

Abstract

The idea of probabilistic metric space was introduced by Menger and he showed that probabilistic metric spaces are generalizations of metric spaces. Thus, in this paper, we prove some of the important features and theorems and conclusions that are found in metric spaces. At the beginning of this paper, the distance distribution functions are proposed. These functions are essential in defining probabilistic metric spaces. Then the Dirac function is presented as an important example of distributions functions. We also, introduced Sibley’s metric or Levy metric on the set of distance distribution functions and so this space becomes a metric space. In the following, probabilistic metric spaces are defined from the Serstnev’s view, and some examples such as Menger probabilistic metric spaces, are introduced. In this paper, the strong topology induced by distance distribution functions is introduced, and then probabilistic diameter, probabilistic bounded, probabilistic semi-bounded, probabilistic unbounded and probabilistic totally bounded sets are introduced. Also, we prove that in every probabilistic metric, every probabilistic totally bounded set is probabilistic bounded set. We also present the cantor intersection theorem and a formulation of Bair’s Theorem in complete probabilistic metric spaces. In addition, we prove that the Heine-Borel   property and the Bolzano-Wierestrass property are equivalent.

Keywords


Article Title [Persian]

تمامیت در فضاهای متری احتمالاتی

Authors [Persian]

  • دلاور وارسته تفتی
  • مهدی آژینی
دانشجوی دکتری، گروه ریاضی محض (آنالیز)، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی، واحد علوم و تحقیقات، تهران، ایران.
Abstract [Persian]

ایده فضاهای متری احتمالاتی اولین بار توسط کارل منجر مطرح شد و اثبات شد که فضاهای متری احتمالاتی تعمیمی از فضاهای متریک می­باشند. بنابراین در این مقاله بعضی ویژگی­ها و قضایا و نتایج مهم که در فضاهای متریک برقرار می­باشند را در فضاهای متری احتمالاتی اثبات می­کنیم. در ابتدای مقاله، توابع توزیع فاصله از دیدگاه کارل منجر مطرح می­شود. این دسته توابع در تعریف فضاهای متری احتمالاتی نقش اساسی دارند. سپس تابع دیراک به عنوان یک مثال مهم از توابع توزیع فاصله، مطرح شده است. بعد از آن روی مجموعه­ی توابع توزیع فاصله ،متر سیبلای یا لوی معرفی شده استو لذا این مجموعه تبدیل به یک فضای متریک می­شود.در ادامه فضاهای متری احتمالاتی از دیدگاه شرسنف تعریف می­شود و چند مثال از جمله فضاهای متری احتمالاتی منجر مطرح می­شود. همچنین توپولوژی قوی القا شده توسط توابع توزیع فاصله معرفی می­شود و بعد از آن قطر احتمالاتی، مجموعه­های کراندار، نیم کراندار، بی­کران و تماماً کراندار احتمالاتی مطرح می­شوند. در این مقاله اثبات می­کنیم در هر فضای متری احتمالاتی، هر مجموعه­ی تماماً کراندار احتمالاتی، کراندار احتمالاتی است. قضیه­ی اشتراکی کانتور در فضاهای متری احتمالاتی تام، مطرح و اثبات می­شود و نتایج آن را ارائه می­کنیم. همچنین ثابت می­کنیم در هر فضای متری احتمالاتی خاصیت بولزانو-وایراشتراس و هاینه-بورل هم ارز یکدیگرند.

Keywords [Persian]

  • توپولوژی قوی
  • تابع مثلثی
  • قضیه اشتراکی کانتور
  • قضیه بئر
[1] K. Menger, Statistical metrics, Proc, Nat, Acad, of sci. U.S.A. 28 (1942), 535-537.

 

[2] K. Menger, Probabilitstic geometry, Pro,Nat, Acad, of sci, U.S.A. 37(1951), 226-229.

 

[3] K. Menger, Gemetric generale (chap.VII), Memorial des Sciences Mathematiques, No, 124, Paris 1954.

 

[4] V. Istratescu and I. Vaduva, Products of statistical metric spaces, (Romanian)Acad.R.P.Romine Stud.Cere.Mat.12(1961),567-574.

 

[5] A. N. Serstnev, On the concept of random normed spaces, (Russian), Dokl. Akad, Nauk

SSSR 149(1963) 280-283.

 

[6] E. Thorp, Generalized topologies for statistical metric spaces, Fundamenta Mathematicae

51 (1962), 9-21.

 

[7] A. Wald, On a statistical generalization of metric spaces, Proc, Nat. Acad. of Sci U. S. A.29 (1943), 196-197.

 

[8] B. Schweizer and A. Sklar, Statistical metric spaces, Pacific J. Math. 10 ( 1960), 314-334.

 

[9] B. Schweizer and A. Sklar, Probabilistic metric spaces, North-Holland, New York(1983).

 

[10] O. Hadzic and E. Pap, Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Institue of Mathematics, University of Novi Sad, Yugoslavia (2001).

 

 

[11] Engelking, R; General Topology, Warszawa (1977).

 

[12] Zhang Shi-Sheng, Basic theory and application of probabilistic metric space (I), Applied Mathematics and Mechanics, 9,2 (1988); 123-133.

 

[13] S. M. Vaezpour and M. Shams, Topological properties of probabilistic metric space Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 1,no. 20 ,( 2007),  957-964.