Einstein structures on four-dimensional nutral Lie groups

Document Type: research paper

Authors

1 Associated Professor, Department of Mathematics, Basic Sciences Faculty, University of Bonab, Bonab 5551761167, Iran.

2 Assistance Professor, Department of Mathematics, Payame Noor University, P.O. Box 19395-3697, Tehran, Iran.

3 Department of Mathematics, Basic Sciences Faculty, University of Bonab, Iran.

Abstract

When Einstein was thinking about the theory of general relativity based on the elimination of especial relativity constraints (especially the geometric relationship of space and time), he understood the first limitation of especial relativity is ignoring changes over time. Because in especial relativity, only the curvature of the space was considered. Therefore, tensor calculations should be to explain it. For this purpose, he obtained a combination of Ricci tensor and Ricci scalar through Bianchi identity, which its covariant derivative is zero and is known as Einstein tensor. The main purpose of this paper is to classify Einstein left-invariant metrics of signature (2,2) on four-dimensional Lie groups. Recently, four-dimensional Lie groups equipped with left-invariant metric of neutral signature has been investigated extensively and a complete list of them has been presented. Now we study Einstein structures on these Lie groups. Then some geometric properties of these spaces, such as Ricci-flatness will be considered.

Keywords


Article Title [Persian]

ساختار اینشتین روی گروه‌های لی چهار‌بعدی خنثی

Authors [Persian]

  • علی حاجی‌بدلی 1
  • امیر حسام زعیم 2
  • رمیسا کرمی 3
1 دانشیار، گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بناب، بناب 5551761167، ایران
2 استادیار، گروه ریاضی، دانشگاه پیام‌نور، صندوق پستی 19395-3697، تهران، ایران
3 گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بناب، بناب 5551761167، ایران
Abstract [Persian]

هنگامی که اینشتین به فکر ارائه نظریه نسبیت عام بر مبنای رفع محدودیت‌های نسبیت خاص( مخصوصاً ارتباط هندسی فضا و زمان) افتاد، متوجه اولین محدودیت نسبیت خاص در خصوص نادیده گرفتن تغییرات دربازه زمانی شد. چرا که با نسبیت خاص تنها انحنای فضایی مد نظر گرفته می‌شد. پس برای توضیح ریاضی آن بایستی از محاسبات تانسوری بهره می‌برد. بدین منظور ترکیبی از تانسور ریچی (که نماد انحنا در فضا – زمان است) و اسکالر ریچی از طریق اتحاد بیانچی بدست آورد که مشتق کواریانت آن صفر می‌باشد و به تانسور اینشتین معروف است. هدف اصلی این مقاله رده‌بندی مترهای اینشتین چپ‌پایا با علامت (2,2)، روی گروه‌های لی چهاربعدی است. گروه‌های لی چهار‌بعدی مجهز به متر چپ‌پایا با علامت خنثی، پیش از این به تفصیل مورد بررسی قرار گرفته و رده‌بندی کاملی از آنها ارائه شده است. اکنون در این پژوهش ساختار اینشتین این گروه‌ها را مطالعه خواهیم نمود. پس از آن برخی خواص هندسی این فضاها، مانند ریچی‌تخت بودن مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

Keywords [Persian]

  • منیفلد شبه‌ریمانی
  • مترچپ‌‌پایا
  • جبر‌لی
  • ریچی‌تخت

 

[1]    Bérard-Bérgery, L., “Homogeneous Riemannian spaces of dimension four”, Seminar A. Besse, Four-dimensional Riemannian geometry, 1985.  

                                    

[2] Arias-Marco, T., and O. Kowalski, Classification of 4-dimensional homogeneous D’Atri spaces, Czechoslovak Math. J. 58 (2008), 203–239.          

                                                       

[3] Tricerri F., and L. Vanhecke, “Homogeneous structures on Riemannian manifolds,” London Math. Soc. Lect. Notes 83, Cambridge Univ. Press, 1983.        

                                               

[4] Calvaruso, G., Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds, J. Geom. Phys. 57 (2007), 1279–1291. 

                                                                                                  

[5] G. Calvaruso and A. Zaeim, Conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds, Tohoku Math. J. 66 (2014), 31–54.    

                                                                  

[6] Cordero, L. A., and P. E. Parker, Left-invariant Lorentzian metrics on 3-dimensional Lie groups, Rend. Mat. Appl. 17 (1997), 129–155. 

                                                                     

[7] Komrakov Jnr., B., Einstein-maxwell equation on four-dimensional homogeneous spaces, Lobachevskii J. Math. 8 (2001), 33–165.                           

                                                                

[8] G.  Calvaruso and A. Zaeim, Four-dimensional Lorentzian Lie groups, Differ. Geom.Appl.  31(4) (2013), 496–509             

[9] G. Calvaruso and A. Zaeim, Neutral metrics on four-dimensional Lie groups, J. Lie Theory. 25 (2015), 1023–1044.

 

[10] Arias-Marco, T., and O. Kowalski, Classification of 4-dimensional homogeneous D’Atri spaces, Czechoslovak Math. J. 58 (2008), 203–239.

[11]  G. Calvaruso and A. Zaeim, Neutral metrics on four-dimensional Lie groups,J. Lie
Theory. 25 (2015), 1023–1044.

 

[12] A. Haji-Badali and R. Karami, Ricci solitons on four-dimensional neutral Lie groups, Journal of Lie Theory, 27 (2017), 943-967