Stability Analysis of a Fractional Order Model of HIV virus and AIDS Infection in the Community

Document Type: research paper

Authors

Department of Mathematics, University of Shahid Beheshti, Evin,Tehran, Iran.

Abstract

In  this  paper a  non-linear  model  with  fractional  order  is  presented  for  analyzing  and  controlling the  spread  of  HIV virus.  Both  the  disease-free  equilibrium and the endemic equilibrium are  found  and  their  stability is  discussed. The basic reproduction number , which is a function of the constant parameters in the model, plays an essential  role in the stability of  the above model. In more precise expression, When  the disease-free  equilibrium is attractor, but when ,  is unstable and the endemic  equilibrium    exists  and  it  is  an  attractor.  Finally  numerical  simulations  are also established  to  investigate  the influence  of  the  parameters in the model  on  the  spread  of  the  disease.

Keywords


Article Title [Persian]

تحلیل پایداری یک مدل مرتبه کسری از ویروس HIV و عفونت ایدز در جامعه

Authors [Persian]

  • محمدصادق شاهرخی دهکردی
  • یاسمن احمدی
هیات علمی، دانشگاه شهید بهشتی، دانشکده علوم ریاضی، گروه ریاضی کاربردی و صنعتی
Abstract [Persian]

در این مقاله یک مدل غیرخطی از مرتبه کسری برای تحلیل و کنترل گسترش ویروس HIV ارائه شده و سپس نقاط تعادل آن  که به نقطه تعادل بدون بیماری و  نقطه تعادل عفونت شناخته می­شوند یافت می­شوند و پایداری آن‌ها مورد بحث قرار می­گیرد. شاخص انتقال یا عدد مولد  که تابعی از پارامترهای ثابت موجود در مدل است، نقش مهمی در پایداری مدل فوق ایفا می‌کند. به عبارتی دقیق­تر زمانی که ، نقطه تعادل بدون بیماری  جاذب است. در مقابل وقتی که ،  ناپایدار و نقطه تعادل عفونت  وجود دارد و جاذب خواهد بود. در پایان نیز چند مثال عددی برای بررسی تاثیر پارامترهای موجود در مدل بر گسترش بیماری بیان می‌شود.

Keywords [Persian]

  • : نقاط تعادل
  • پایداری
  • مدل HIV /ایدز با مشتقات‌ مرتبه‌ی کسری
  • حل‌ عددی
  • الگوریتم گرانوالد-لتنیکوف
1. Ahmed E., A.M. A.El-SayedbHala and A.A. El-Saka, On some Routh–Hurwitz conditions for fractional order differential equations and their applications in Lorenz, Rössler, Chua and Chen systems, Physics Letters A, 358 (2006)1-4.

2. Benson DA., Meerschaert M.M., Revielle, J., “Fractional calculus in hydrologic modeling: a numerical perspective”, Adv. Water Resour., 51 (2013) 479-497.

3. Bohannan G., “Analog fractional order controller in temperature and motor control applications”, J. Vib. Control, 14 (2008) 1487-1498.

4. Cai L., Li X., Ghosh M., and Guo B., Stability analysis of an HIV/AIDS epidemic model with treatment, Journal of computational and Applied Math. 229 (2009) 313-323.

5. Das, S., “Fractional Calculus for System Identification and Controls”, Springer, New York, (2008).

6. Hsieh Y.H., Chen C.H., Modeling the social dynamics of a sex industry: its implications for spread of HIV/AIDS, Bull. Math. Biol. 66 (2004) 143-249.

7. Jiang Y.L., Wang X.L., Wang Y., “On a stochastic heat equation with first order fractional noises and applications to finance”, J. Math. Anal. Appl., 396 (2012) 656-669.

8. Jiang Y.L., Ding X.L., “Waveform relaxation methods for fractional differential equations with the Caputo derivatives”, J. Comput. Appl. Math., 238 (2013) 51-67.

9. Kenneth S. Miller, Bertram Ross, An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, A wiley-Interscience Publication, USA, (1993).

10. Larsson S., Racheva M., Saedpanah F., “Discontinuous Galerkin method for an integro-differential equation modeling dynamic fractional order viscoelasticity”, Comput. Method. Appl. Mech. Eng., 283 (2015) 196-209.

11. Mickens R.E., Numerical integration of population models satisfying conservation laws: NSFD methods, Biol. Dyn. 1(4) (2007) 1751-1766.

12. Mickens R.E., Advances in the Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, World Scientific, Singapore, 2005.

13. Naresh R., Tripathi A., and Sharma D., A nonlinear AIDS epidemic model with screening and time delay, App. Math. Comp. 217 (2011) 4416-4426.

14. Radwan A.G., K. Moaddy and S. Momani, Stability and non-standard finite difference method of the generalized Chua’s circuit, Comput. Math. Appl. 62 (2011) 961-970.

15. Sierociuk D., Dzielinski A., Sarwas G., Petras I., Podlubny I., Skovranek T., “ Modelling heat transfer in heterogeneous media using fractional calculus”, Phil. Trans. R. Soc. A, 371 (2013) 20120146.

16. Srinivasa Rao A.S.R., Mathematical modeling of AIDS epidemic in India, Curr. Sci. 84 (2003) 1192-1197.

17. Tripathi A., Naresh R., and Sharma D., Modeling the effect of screening of unaware infectives on the spread of HIV infection, Appl. Math. 184 (2007) 1053-1068.