On trivial ends of Cayley graph of groups

Document Type: research paper

Authors

Asistant professor, Department of Pure Mathematics, Ferdowsi university of Mashhad, Mashhad, Iran

Abstract

In this paper, first we introduce the end of locally finite graphs as an equivalence class of infinite paths in the graph. Then we mention the ends of finitely generated groups using the Cayley graph. It was proved that the number of ends of groups are not depended on the Cayley graph and that the number of ends in the groups is equal to zero, one, two, or infinity. For each of these numbers, some results have been obtained in the structure of groups, the most well-known of which is Stallings theorem providing the structure of groups with more one ends as the amalgamated free product or HNN extension. Specifically, it was proved that group with exactly two ends is a virtually Z group. After that, we introduce the trivial end of the graphs and show that the trivial end is exactly the same as the special type of infinite path. Finally, we prove that the existence of trivial end for Cayley graph of a group is equivalent to being a free group, and this implies that the Cayley graph of a group has a trivial end if and only if all of its ends are trivial.
 

Keywords


Article Title [Persian]

انتهاهای بدیهی گراف کیلی گروه‌ها

Authors [Persian]

  • هانیه میرابراهیمی
  • آمنه بابایی
گروه ریاضی محض، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران
Abstract [Persian]

در این مقاله ابتدا انتهای گراف‌‌های موضعاً متناهی را به عنوان رده هم‌ارزی مسیرهای نامتناهی در گراف معرفی می‌کنیم. سپس انتهای گروه‌های متناهی تولید شده را بازگو می‌کنیم که با استفاده از گراف کیلی تعریف می‌شود. ثابت شده است که تعداد انتهاهای گروه‌ها به گراف کیلی وابسته نیست و برابر با صفر، یک، دو و یا نامتناهی است. برای هر یک از این اعداد نتایجی در ساختار گروه‌ها به دست آمده است که شناخته‌شده‌ترین آن‌ها قضیه‌ای موسوم به قضیه استالینگز است و ساختار گروه‌هایی با بیش از یک انتها را به عنوان حاصلضرب آزاد ملقمه‌ای یا توسیع HNN ارائه می‌دهد. به طور خاص‌تر ثابت شده است که گروهی با دقیقا دو انتها یک گروه مجازی Z است. بعد از آن انتهای بدیهی گراف‌ها را معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که انتهای بدیهی دقیقا وابسته به نوع خاصی از مسیر نامتناهی است. در پایان ثابت می‌کنیم وجود انتهای بدیهی برای گراف کیلی یک گروه معادل آن است که گروه آزاد باشد و این نتیجه می‌دهد که گراف کیلی یک گروه یک انتهای بدیهی دارد اگر و تنها اگر تمام انتهاهای آن بدیهی باشند.

Keywords [Persian]

  • فضای انتها
  • ۱-همبافت
  • گراف کیلی
  • گروه متناهی تولید شده‏
  • گروه آزاد
[1] R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag, Berlin, 2017.

 

[2] R. Diestel, P. Sprüssel, The fundamental group of a locally finite graph with ends, Advances in Mathematics, Volume 226, Issue 3, 2011, 2643–2675.

 

[3] R. Diestel, Ends and tangles, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Volume 87 (2017), 223–244.

 

[4] R. Diestel and D. Kühn, Graph-theoretical versus topological ends of graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, Volume 87 (2003), 197–206.