Euler-Lagrange equations and geometric mechanics on Lie groups with potential

Document Type: research paper

Author

Department of Mathematics, Faculty of Sciences, Bu-Ali Sina University, Hamedan, Iran

Abstract

Abstract. Let G be a Banach Lie group modeled on the Banach space, possibly infinite dimensional, E. In this paper first we introduce Euler-Lagrange equations on the Lie group G with potential and right invariant metric. Euler-Lagrange equations are natural extensions of the geodesic equations on manifolds and Lie groups. In the second part, we study the geometry of the mechanical system of a rigid body with a fixed point in the gravitational field. This Mechanical systems is usually know as symmetric heavy top. Then we show that the extracted equations by this theory coincide with the known equations of heavy top. Finally, as an infinite dimensional example, we study the Camassa-Holm equations on Bott-Virasoro group at the presence of potential. Bott-Virasoro group is the product of the group of diffeomorphisms of the circle of Sobolev class by the real line and by a potential on a Lie group G we mean a differentiable function from G to the real line R.

Keywords


Article Title [Persian]

معادلات اویلر-لاگرانژ و مکانیک هندسی بر گروه های لی با پتانسیل

Author [Persian]

  • علی سوری
گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه بوعلی سینا همدان، ایران
Abstract [Persian]

چکیده: فرض کنید G یک گروه لی، احتمالا با بعد نامتناهی، مدل شده بر فضای باناخ E باشد. د ر این مقاله ابتدا معادلات اویلر-لاگرانژ بر گروه لیG با متر پایای راست در حضور پتانسیل را معرفی می کنیم. معادلات اویلر-لاگرانژ تعمیم طبیعی معادلات ژئودزیک بر منیفلدها و گروه های لی هستند. در بخش دوم، هندسه سیستم مکانیکی حرکت یک جسم صلب با یک نقطه ثابت در میدان گرانش را مطالعه می کنیم. این سیستم مکانیکی را معمولا با نام فرفره متقارن می شناسند. سپس نشان می‌دهیم که معادلات استخراج شده توسط این نظریه با معادلات شناخته شده فرفره منطبق هستند. در پایان، به عنوان یک مثال از حالت بعد نامتناهی، به مطالعه معادلات کاماسا-هلم بر گروه بات-ویراسورو در حضور پتانسیل می پردازیم. گروه بات-ویراسورو به صورت حاصل ضرب گروه همه وابرسانی های دایره از کلاس سوبولف با خط حقیقی می باشد و منظور ما از یک پتانسیل برگروه لی G، یک تابع مشتق پذیر از G به خط حقیقی است.

Keywords [Persian]

  • لاگرانژی
  • اسپری
  • معادلات اویلر-لاگرانژ
  • جسم صلب
  • معادلات کاماسا-هلم

 

[1] R. Abraham and J. Marsden, Foundations of Mechanics, 2nd ed., Addison–Wesley (1978).

 

[2] V. I. Arnold,: Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluids parfaits, Ann. Inst. Grenoble, 16, 319–361 (1966).

 

[3] V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, New York, Springer-Verlag (1978).

 

[4] P. R. Chernoff and J. E. Marsden  Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 421, Springer-Verlag, New York (1974).

 

[5] D. Ebin and J. Marsden, Groups of diffeomorphisms and the motion of an incompressible fluid, Ann. of Math. (2) 92, 102-163 (1970).

 

[6] J. Marsden, D. Ebin and A.E. Fischer, Diffeomorphism groups, hydrodynamics and relativity, Proceedings of the 13th Biennial Seminar of Canadian Mathematical Congress, Vol. 1, 135–279 (1972).

 

[7] A. Iacob, Invariant manifolds in the motion of a rigid body about a fixed point, Rev. Roum. Math. Pures. Appl., 16 (10), 1497-1521 (1971).

 

[8] D. Lewis, T. Ratiu, J.C. Simo and J. Marsden Heavy top: a geometric treatment, Nonlinearity, 5, 1-48 (1992).

 

[9] J.E. Marsden and T.S. Ratiu Introduction to Mechanics and Symmetry, Texts in Applied Mathematics 17, Springer-Verlag, (1994).

[10] G. Misiolek, Shallow water equation as a geodesic flow on the Bott-Virasoro group, J. Geom. Phys. 24, 203 – 208 (1998).

 

[11] S. Shkoller, Geometry and curvature of diffeomorphism groups with metric and mean Hydrodyna- mics, J. Funct. Anal. 160, 337–365 (1998).

 

[12] A. Suri, Second order time dependent tangent bundles and Geometric Mechanics, Mediterr. J. Math. 14: 154. https://doi.org/10.1007 /s00009-017-0954-2 (2017).

 

[13] M. Taylor, Finite and infinite dimensional Lie groups and evolution equations, Lecture notes (2003).