Results on Generalization of Burch’s Inequality and the Depth of Rees Algebra and Associated Graded Rings of an Ideal with Respect to a Cohen-Macaulay Module

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Mathematics, Payame Noor University, Tehran, Iran

2 Department of Math. University of Kurdistan, P.O.Box:416, Sanandaj, Iran

Abstract

Let  be a local Cohen-Macaulay ring with infinite residue field,  an Cohen - Macaulay module and  an ideal of  Consider  and , respectively, the Rees Algebra and associated graded ring of , and denote by  the analytic spread of  Burch’s inequality says that  and equality holds if  is Cohen-Macaulay. Thus, in that case one can compute the depth of associated graded ring of  as  In this paper we extend results in case of rings and ideals to the case of modules and we show that for associated graded module of  with respect to i.e, , such an equality is also valid when  is not necessarily Cohen-Macaulay, and we extend Burch’s inequality to modules. Also, we compute the Rees Algebra and associated graded ring of generically complete intersection of an ideal with respect to module  in local Cohen - Macaulay ring and we obtain positive results for ideals with analytic deviation less or equal than one and reduction number at most two with respect to module

Keywords


Article Title [Persian]

نتایجی از تعمیم نامساوی بورخ و عمق جبر ریس و حلقه مدرج وابسته یک ایدآل نسبت به یک مدول کوهن - مکالی

Authors [Persian]

  • محمد توحیدی 1
  • امیر مافی 2
  • خدیجه احمدی آملی 1
1 دانشجوی دکتری گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
2 (2) دانشیارگروه ریاضی، دانشگاه کردستان، سنندج، ایران (نویسنده مسئول).
Abstract [Persian]

فرض کنید  یک حلقه‌ موضعی کوهن - مکالی با هیأت مانده‌ای نامتناهی ،  یک - مدول کوهن - مکالیو  ایدآلی از  باشد. فرض کنید  و ، به ترتیب جبر ریس و حلقه‌ مدرج وابسته  و  نشان دهنده‌‌ی بسط تحلیلی  باشد. نامساوی بورخ بیان می‌کند که  و تساوی زمانی برقرار است که  کوهن - مکالی باشد. بنابراین در این حالت می‌توان با محاسبه عمق حلقه مدرج وابسته ، بیان کرد . ما در این مقاله نتایج را به حالت مدولی تعمیم می‌دهیم و نشان خواهیم داد برای عمق مدول مدرج وابسته  نسبت به ؛ یعنی ، این تساوی در حالت مدولی حتی اگر  لزوماً کوهن - مکالی نباشد نیز برقرار است و تعمیم نامساوی بورخ را ثابت خواهیم کرد. همچنین به محاسبه عمق جبر ریس و حلقه‌‌ مدرج وابسته به یک ایدآل نوعاً همبرش کامل نسبت به مدول  در یک حلقه‌ موضعی کوهن - مکالی خواهیم پرداخت و نتایجی را درباره‌‌ی ایدآل‌های با انحراف تحلیلی کوچکتر یا مساوی یک با عدد تقلیل حداکثر دو نسبت به مدول  به دست می‌آوریم.

Keywords [Persian]

  • مدول‌ مدرج وابسته
  • عدد بورخ
  • همبرش کامل
  • انحراف تحلیلی
  • بسط تحلیلی
  • عدد تقلیل