An Existence Results on Positive Solutions for a Remarks on k-Torsionless Modules

Document Type: research paper

Author

Department of Mathematic, East Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran.

Abstract

Let R be a commutative Noetherian ring. The k-torsionless modules are defined in [7] as a generalization of torsionless and reflexive modules, i.e., torsionless modules are 1-torsionless and reflexive modules are 2-torsionless. Some properties of torsionless, reflexive, and k-torsionless modules are investigated in this paper. It is proved that if M is an R-module such that G-dimR(M)<∞, then M is k-torsionless if and only if Mp is k-torsionless for p∊Spec(R) with depth (RP)≤k-1, and dephRp (Mp)≥k for p∊Spec(R) with deph(Rp)≥k. Furthermore, by Auslander-Bridger formula, we prove that M is k-torsionless if and only if Mp is k-torsionless for p∊Spec(R) with depth (RP)≤k-1, and G-dimRp(Mp)≤depth(Rp)-k for p∊Spec(R) with deph(Rp)≥k. Also, it is shown that the class of maximal Cohen-Macaulay modules and the class of k-torsionless modules are equivalent over Gorenstein local ring with dimension k. Finally, we provide the necessary and sufficient conditions which led the tensor product of k-torsionless modules to be k-torsionless.

Keywords


Article Title [Persian]

نتایجی در مورد مدول‌های k- بی‌تاب

Author [Persian]

  • مریم سلیمی
استادیار، گروه ریاضی، واحد تهران شرق، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران.
Abstract [Persian]

فرض کنید R یک حلقه جابه‌جایی و نوتری باشد. در ، مدول‌های  بی‌تاب به‌عنوان تعمیمی از مدول‌های بی‌تاب و انعکاسی تعریف شده‌اند. بدین معنا که مدول‌های بی‌تاب، مدول 1- بی‌تاب و مدول‌های انعکاسی، مدول 2- بی‌تاب باشند. در این مقاله، برخی از ویژگی‌های مدول‌های بی‌تاب، انعکاسی و در حالت کلی  بی‌تاب را مورد بررسی قرار می‌دهیم. ثابت می‌کنیم که برای  مدول  با فرض ،  مدول  بی‌تاب است اگر و تنها اگر برای هر ، به ‌طوری‌که ،  مدول  بی‌تاب باشد، و برای هر  به‌ طوری‌که  داشته باشیم . بعلاوه، با استفاده از فرمول آسلندر - بریدجر، ثابت می‌کنیم  مدول  بی‌تاب است اگر و تنها اگر برای هر ، به ‌طوری‌که ،  مدول  بی‌تاب باشد، و برای هر  به ‌طوری‌که  داشته باشیم . همچنین ثابت می‌کنیم که روی حلقه‌های گورنشتاین و موضعی با بعد ، کلاس مدول‌های ماکزیمال کوهن - مکالی و کلاس مدول‌های  بی‌تاب معادلند. در پایان شرایط لازم و کافی برای این که حاصل‌ضرب تانسوری مدول‌های  بی‌تاب مدول  بی‌تاب شود را به‌دست می‌آوریم.

Keywords [Persian]

  • مدول بی‌تاب
  • مدول انعکاسی
  • مدول ماکزیمال کوهن – مکالی