The solving linear one-dimemsional Volterra integral equations of the second kind in reproducing kernel space

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Mathematic, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran

2 Department of Mathematic, Kharazmi University, Tehran, Iran.

Abstract

In this paper, to solve a linear one-dimensional Volterra  integral equation of the second kind. For this purpose using the equation form, we have defined a linear transformation and by using it's conjugate and reproducing kernel functions, we obtain a basis for the functions space.Then we obtain the solution of  integral equation in terms of the basis functions. The examples presented in this paper show validity of the method. But this method does not provide results for nonlinear one-dimensional Volterra integral equations of the second kind. In this case for calculation Fourier cofficients the new method should be given. Thus the next focus on providing a method for calculating  Fourier  cofficients in the nonlinear mode. Also we think that this method can be generalized to linear two-dimensional Volterra integral equations of the second kind and we worked on this in the another paper.

Keywords


Article Title [Persian]

حل معادله انتگرال ولترای نوع دوم خطی یک بعدی در فضای هسته بازتولید

Authors [Persian]

  • عباس فضلی 1
  • شهنام جوادی 2
1 گروه ریاضی کاربردی، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 گروه ریاضی، دانشگاه خوارزمی، تهران، ایران
Abstract [Persian]

در این مقاله یک معادله انتگرال ولترای نوع دوم خطی یک بعدی را حل می­کنیم. بدین منظور با استفاده از شکل معادله، یک عملگر خطی تعریف می­کنیم و با استفاده از آن و عملگر الحاقی­اش و توابع هسته باز تولید یک پایه برای فضای توابع به دست می­آوریم. سپس جواب معادله انتگرال را بر حسب این توابع پایه­ای به دست می­آوریم. مثال­های ارائه شده در این مقاله صحت و اعتبار روش را نشان می­دهند. اما این روش برای معادلات انتگرال ولترای نوع دوم غیر خطی یک بعدی نتیجه­ای به دست نمی­دهد، در این حالت یک روش جدید برای محاسبه ضرایب فوریه بایستی ارائه شود بنابراین تمرکز بعدی ما ارائه یک روش برای محاسبه ضرایب فوریه در حالت غیر خطی است. این روش به راحتی قابل تعمیم برای معادله انتگرال ولترای نوع دوم خطی دو بعدی است و ما روی این موضوع در مقاله دیگر کار می­کنیم.

Keywords [Persian]

  • معادله انتگرال ولترا
  • هسته باز تولید
  • ضرایب فوریه
[1] A. M. Wazwaz. A first course in integral equations. World Scientific. singapour(1997)

 

[2] A. M. Wazwaz. Linear and nonlinear integral equation: methods and applications. Higher Education Press and Springer Verlage (2011)

 

[3] M. H. Reihani, Z. Abadi. Rationalized Harr functions method for solving Fredholm and Volterra integral equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 12-20 (2007)

 

[4] J. Saberi-Nadjafi, M. Mehrabinezhad, T. Diogo. The Coiflet-Galerkin method for linear Volterra integral equations. Applied Mathematics and Computation 221:469-483(2013)

 

[5] J. Saberi-Nadjafi, M. Mehrabinezhad, H. Akbari. Solving Volterra integral equations of the second kind by Wavelet-Galerkin scheme. Computer and Mathematics with Applications 63:1536-1547(2012)

 

[6] Miggen Cui, Yingzhen Lin.Nonlinear Numerical Analysis in the Reproducing Kernel Space.Nova Science Publishers, Inc (2008)