Groups and Ultra-groups

Document Type: research paper

Authors

1 Department of Pure Mathematics, Hakim Sabzevari University, Sabzevar, Iran.

2 Department of Pure Mathematics, Farhangian University, Mashhad, Iran.

Abstract

In this paper, in addition to some elementary facts about the ultra-groups, which their structure based on the properties of the transversal of a subgroup of a group, we focus on the relation between a group and an ultra-group. It is verified that every group is an ultra-group, but the converse is not true generally. We present the conditions under which, for every normal subultra-group of an ultra-group over a group, there exists a normal subgroup of that certain group. Moreover, by proving this feature that a monomorphism in groups preserve the ultra-groups over groups, we show that, corresponding to any monomorphism in groups, there is an ultra-group homomorphism on the subgroups of those groups. Finally, we prove isomorphism theorems for ultra-groups. These theorems connect three notions subultra-group, normal subultra-group, quotient ultra-group, and directly, similar to the isomorphism theorems in group theory and module theory are proved.

Keywords


Article Title [Persian]

گروه‌ها و فراگروه‌ها

Authors [Persian]

  • غلامرضا مقدسی 1
  • پروانه ذوالفقاری 2
  • بهناز طلوع حقیقی 1
1 گروه ریاضی محض، دانشگاه حکیم سبزواری، سبزوار، ایران
2 گروه ریاضی، دانشگاه فرهنگیان، مشهد، ایران
Abstract [Persian]

در این مقاله ضمن بیان مفاهیم مقدماتی درباره فراگروه‌ها، که ساختار آن ‌براساس خواص یک تراگرد از زیر گروهی از یک گروه است، رابطه بین گروه و فراگروه را بررسی نموده و نشان می‌دهیم که هر گروه یک فراگروه است ولی عکس آن همواره برقرار نمی‌باشد‌. بعلاوه، شرایطی را می‌یابیم که تحت آن، نظیر هر زیرفراگروه نرمال از یک فراگروه وابسته به یک گروه، زیر گروه نرمالی از آن گروه حاصل می‌گردد‌. همچنین، با اثبات این مطلب که تکریختی درگروه‌ها حافظ تراگرد در گروه‌های نظیر است نشان می‌دهیم، متناظر با هر تکریختی در گروه‌ها، یک فراریختی بر روی فراگروه‌های وابسته به آن گروه‌ها وجود دارد‌. سرانجام، قضایای یکریختی برای فراگروه‌ها ثابت می‌گردد‌. این قضایا که در مورد ارتباط بین سه مفهوم زیر فراگروه نرمال، فراگروه خارج قسمتی و فراریختی باشد به طور مستقیم، همانند آنچه در نطریه گروه‌ها و مدول‌ها وجود دارد، اثبات می‌شود‌.

Keywords [Persian]

  • همرده
  • تراگرد
  • همریختی
  • فراگروه‌