# Partial second-order subdifferentials of -prox-regular functions

Document Type: research paper

Authors

1 Ph.D. student, Department of Mathematics, Sahand University of Technology, Tabriz, Iran

2 Department of Applied Mathematics, School of Mathematics Science, University of Tabriz, Tabriz, Iran

Abstract

Although prox-regular functions in general are nonconvex, they possess properties that one would expect to find in convex or lowerC2  functions. The class of prox-regular functions covers all convex functions, lower C2  functions and strongly amenable functions. At first, these functions have been identified in finite dimension using proximal subdifferential. Then, the definition of prox-regular functions have been developed in Banach and Hilbert spaces. In this paper, the parametric prox-regular functions are defined using limiting subdifferentials. Also, a partial second-order subdifferential is defined here for extended real valued functions of two variables corresponding to its variables through coderivatives of first-order partial subdifferential mappings. Then, relations between maximal monotonicity of  the partial first-order subdifferentials of these functions  and the positive-semidefiniteness of  the coderivatives of partial first order subdifferential mapping are investigated. Finally, we present necessary and sufficient conditions for ∂ -prox-regular functions to be convex based on positive-semidefiniteness of the partial second-order subdifferentials mappings.

Keywords

Article Title [Persian]

### زیرمشتقات جزئی ‌مرتبه دوم توابع -تقریباً-منظم

Authors [Persian]

• سمیه نادی 1
• جواد وکیلی 2
1 دانشجوی دکتری، گروه ریاضی، دانشگاه صنعتی سهند، تبریز، ایران.
2 استادیار، گروه ریاضی کاربردی، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران.
Abstract [Persian]

با اینکه توابع تقریباً-منظم در حالت کلی محدب نیستند، ولی خصوصیاتی را دارا هستند که انتظار می‌رود در توابع محدب و یا C2- پایینی یافت شود. کلاس توابع تقریباً-منظم، شامل توابع محدب، C2- پایینی، قویا متمایل و... است. این توابع در ابتدا روی فضاهای با بعد متناهی و با استفاده از زیرمشتق تقریبی تعریف شدند و سپس تعریف این توابع به روی فضاهای باناخ و هیلبرت گسترش داده شد. در این مقاله، توابع تقریباً-منظم پارامتری با استفاده از زیرمشتق حدی تعریف می‌‌شوند. همچنین به تعریف زیرمشقات جزئی مرتبه دوم توابع دو متغیره نسبت به متغییرهایشان با استفاده از هم‌مشتق نگاشت زیرمشتق مرتبه اول می‌پردازیم. سپس ارتباط بین یکنوایی ماکسیمال زیرمشتقات جزئی مرتبه اول این توابع با نیم‌معین مثبت بودن نگاشت هم‌مشتق زیرمشتق جزئی مرتبه اول بررسی می‌شود. سرانجام شرایط لازم و کافی برای محدب بودن توابع ∂-تقریباً-منظم برحسب نیم‌معین مثبت بودن نگاشت زیرمشتقات جزئی مرتبه دوم ارائه می‌دهیم.

Keywords [Persian]

• توابع تقریباً-منظم
• نگاشت یکنوای ماکسیمال
• زیرمشتقات جزئی مرتبه دوم
• هم‌مشتق
• آنالیز تغییرات