New operational matrix for solving a class of optimal control problems with Jumarie’s modified Riemann-Liouville fractional derivative

Document Type: research paper

Authors

Department of Mathematics, Babol Noshirvani University of Technology, Shariati Ave., Babol, Iran

Abstract

In this paper, we apply spectral method based on the Bernstein polynomials for solving a class of optimal control problems with Jumarie’s modified Riemann-Liouville fractional derivative. In the first step, we introduce the dual basis and operational matrix of product based on the Bernstein basis. Then, we get the Bernstein operational matrix for the Jumarie’s modified Riemann-Liouville fractional derivative, which has not been undertaken before. By using the function approximations based on the Bernstein basis and mentioned operational matrices, the optimal control problems with Jumarie’s modified Riemann-Liouville fractional derivative is reduced to a system of algebraic equations that easily solvable by Newton’s iteration method. We apply the proposed method for solving two examples. The numerical results show that present method is simple in implementation and the approximate solutions are in high accuracy. Some comparisons with other method guarantee that the results are reasonable. Also, the obtained solutions approach to classical solutions as the order of the fractional derivatives approach to 1, as expected.

Keywords


Article Title [Persian]

ماتریس عملیاتی جدید برای حل یک کلاس از مسائل کنترل بهینه با مشتق کسری ریمان- لیوویل اصلاح شده جمیره

Authors [Persian]

  • محسن علی پور
  • پریسا الله‌قلی
گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل، بابل، ایران
Abstract [Persian]

در این مقاله، ما روش طیفی را برمبنای چندجمله­ای­های برنشتاین برای حل یک کلاس از مسائل کنترل بهینه با مشتق کسری ریمان–لیوویل اصلاح شده جمیره به کار می­بریم. در مرحله اول، پایه دوگان و ماتریس عملیاتی حاصلضرب را براساس پایه برنشتاین معرفی می­نمائیم. سپس ماتریس عملیاتی برنشتاین را برای مشتقات کسری ریمان–لیوویل اصلاح شده جمیره بدست می­آوریم که تا کنون انجام نشده است. با استفاده از تقریب توابع براساس پایه برنشاین و ماتریس­های عملیاتی ذکر شده، مسئله کنترل بهینه با مشتق کسری ریمان–لیوویل اصلاح شده جمیره به یک سیستم معادلات جبری کاهش
می­یابد که با استفاده از روش تکراری نیوتن به سادگی قابل حل می­باشد. روش مطرح شده را برای حل دو مسئله بکار
می­گیریم. نتایج عددی نشان می­دهد که جواب­های تقریبی حاصل، از دقت بالایی برخوردار هستند. برخی مقایسه­ها با روش دیگر تضمین می­کند که نتایج منطقی می­باشند. همچنین همانطور که انتظار می­رفت، وقتی مرتبه مشتق کسری به عدد 1 میل نماید، جواب­های بدست آمده به جواب­های کلاسیک میل می­نماید.

Keywords [Persian]

  • مسائل کنترل بهینه کسری
  • چندجمله‌ای‌های برنشتاین
  • ماتریس عملیاتی
  • مشتق کسری ریمان–لیوویل اصلاح شده جمیره
  • حساب دیفرانسیل کسری